Question

17．平面內(nèi)動點P（x，y）與兩定點A（-2，0），b（2，0）連線的斜率之積等于-$\frac{1}{3}$，若點P的軌跡為曲線E，過點Q（-1，0）作斜率不為零的直線CD交曲線E于點C，D
（1）求曲線E的方程；
（2）求證：AC⊥AD．

Answer 1

分析 （1）設(shè)動點P坐標為（x，y），當(dāng)x≠±2時，由條件得：$\frac{y}{x-2•}$$\frac{y}{x+2}$=-$\frac{1}{3}$，化簡得曲線E的方程；
（2）設(shè)CD方程與橢圓聯(lián)立，利用數(shù)量積為0，證明AC⊥AD．

解答 （1）解：設(shè)動點P坐標為（x，y），當(dāng)x≠±2時，由條件得：$\frac{y}{x-2•}$$\frac{y}{x+2}$=-$\frac{1}{3}$，化簡得$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1，
故曲線E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{3{y}^{2}}{4}$=1（x≠±2）．
（2）證明：CD斜率不為0，所以可設(shè)CD方程為my=x+1，與橢圓聯(lián)立得：（m²+3）y²-2my-3=0，
設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），所以y₁+y₂=$\frac{2m}{{m}^{2}+3}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+3}$．
（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）=（m²+1）y₁y₂+m（y₁+y₂）+1=（m²+1）（-$\frac{3}{{m}^{2}+3}$）+m•$\frac{2m}{{m}^{2}+3}$+1=0，
所以AC⊥AD．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．