Question

19．設a，b，c均為正數(shù)，且a+b+c=1．求證：
（1）ab+bc+ac≤$\frac{1}{3}$；
（2）$\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}≥1$．

Answer 1

分析 （1）運用重要不等式a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，累加結(jié)合條件即可得證；
（2）運用基本不等式可得$\frac{a^2}+b≥2a，\frac{b^2}{c}+c≥2b，\frac{c^2}{a}+a≥2c$，累加結(jié)合條件，即可得證．

解答 證明：（1）由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，a²+c²≥2ac，
得a²+b²+c²≥ab+bc+ac，由（a+b+c）²=1，
得a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1，
所以3（ab+bc+ac）≤1，
所以（ab+bc+ac）≤$\frac{1}{3}$；
（2）由$\frac{a^2}+b≥2a，\frac{b^2}{c}+c≥2b，\frac{c^2}{a}+a≥2c$，
累加可得，$\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+（a+b+c）≥2（a+b+c）$，
即$\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}≥a+b+c$，
所以$\frac{a^2}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}≥1$．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用基本不等式，結(jié)合累加法，考查推理能力，屬于中檔題．