Question

已知函數(shù)f（x）=sinx，將函數(shù)f（x）圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的

1

2

倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)g（x）的圖象，則關(guān)于f（x）g（x）有下列命題，其中真命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
①函數(shù)y=f（x）•g（x）是偶函數(shù)；               
②函數(shù)y=f（x）•g（x）是周期函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）•g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

2

，0）中心對(duì)稱(chēng)；
④函數(shù)y=f（x）•g（x）的最大值為

4 3

9

．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：根據(jù)題意，求出y=f（x）•g（x）的解析式，判斷：
①根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義即可得出結(jié)論是否正確；
②根據(jù)周期函數(shù)的定義即可判斷是否正確；
③根據(jù)f（

π

2

+x）•g（

π

2

+x）=-f（

π

2

-x）•g（

π

2

-x）得出函數(shù)y的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

2

，0）中心對(duì)稱(chēng)；
④利用換元法求出y的最大值即可．

解答： 解：根據(jù)題意，∵f（x）=sinx，∴g（x）=sin2x，∴y=f（x）•g（x）=sinx•sin2x；
對(duì)于①，∵f（-x）•g（-x）=sin（-x）•sin2（-x）=（-sinx）•（-sin2x）=sinxsin2x=f（x）•g（x），
∴y=f（x）•g（x）是偶函數(shù)，①正確；
對(duì)于②，∵f（2π+x）•g（2π+x）=sin（2π+x）•sin（4π+2x）=sinx•sin2x=f（x）•g（x），
∴y=f（x）•g（x）是周期函數(shù)，②正確；
對(duì)于③，∵f（

π

2

+x）•g（

π

2

+x）=sin（

π

2

+x）sin（π+2x）=cosxsin2x
f（

π

2

-x）•g（

π

2

-x）=sin（

π

2

-x）sin（π-2x）=-cosxsin2x
∴f（

π

2

+x）•g（

π

2

+x）=-f（

π

2

-x）•g（

π

2

-x）
∴y=f（x）•g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

2

，0）中心對(duì)稱(chēng)，③正確；
對(duì)于④，y=f（x）•g（x）=sinxsin2x=2sin²xcosx=2（1-cos²x）cosx，
設(shè)t=cosx，t∈[-1，1]，
∴y=2t-2t³，求導(dǎo)得y′=2-6t²；
∴當(dāng)t∈[-1，-

3

3

）時(shí)，y′＜0，函數(shù)y是減函數(shù)，
當(dāng)t∈（-

3

3

，

3

3

）時(shí)，y′＞0，函數(shù)y是增函數(shù)，
當(dāng)t∈（

3

3

，1]時(shí)，y′＜0，函數(shù)y是減函數(shù)；
∴當(dāng)t=

3

3

時(shí)，y取得最大值是y_max=2×

3

3

-2×(

3

3

)3=

4 3

9

，④正確；
綜上，正確的命題是①②③④，4個(gè)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，也考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．