Question

4．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+$\frac{1-a}{x}$-1（a∈R）
（1）當(dāng)0≤a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)g（x）=x²-2bx+4，當(dāng)a=$\frac{1}{4}$時(shí)，
（i）若對(duì)任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂），求實(shí)數(shù)b取值范圍；
（ii）對(duì)于任意x₁，x₂∈（1，2]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤λ|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），討論，f′（x）的正負(fù)，從而判定f（x）的單調(diào)性；
（II）（i）由題意，要使f（x₁）≥g（x₂）成立，只需f_min（x）≥g_min（x）即可，求出f_min（x），即b≥$\frac{x}{2}$+$\frac{9}{4x}$，在x∈[1，2]成立，再構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，從而求出b的取值范圍．
（ii） 由（I）中結(jié)論函數(shù)f（x）在（1，2]上是增函數(shù)，函數(shù)y=$\frac{1}{x}$在（1，2]是減函數(shù)，則|f（x₁）-f（x₂）|≤λ|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|等價(jià)于f（x₂）-f（x₁）≤λ（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$），構(gòu)造函數(shù)，可得函數(shù)φ（x）是減函數(shù)，根據(jù)φ'（x）≤0在（1，2]上恒成立，可構(gòu)造關(guān)于λ的不等式，解不等式即可得到答案．

解答 解：（I）∵（x＞0，a∈R），
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-a-$\frac{1-a}{{x}^{2}}$=$\frac{-a{x}^{2}+x+a-1}{{x}^{2}}$=-$\frac{（x-1）（ax+a-1）}{{x}^{2}}$（x＞0）
①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$（x＞0），
∴0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)；
②當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）=-$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≤0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減； 
③當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1-a}{a}$＞1時(shí)，x∈（0，1]時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（1，$\frac{1-a}{a}$]時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（$\frac{1-a}{a}$，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減．
（II）（i）g（x）=x²-2bx+4，當(dāng)a=$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{4x}$-1
若對(duì)任意x₁∈（0，2），存在x₂∈[1，3]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，
只需f_min（x）≥g_min（x）；
由（I）知，當(dāng)a=$\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）在（0，1]單調(diào)遞減，在（1，2]單調(diào)遞增，
∴f_min（x）=f（1）=-$\frac{1}{2}$，
∴x²-2bx+4≤-$\frac{1}{2}$，在x∈[1，2]成立
即b≥$\frac{x}{2}$+$\frac{9}{4x}$，在x∈[1，2]成立
設(shè)h（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{9}{4x}$，
∴h′（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{9}{4{x}^{2}}$=$\frac{2{x}^{2}-9}{4{x}^{2}}$＜0，在x∈[1，2]恒成立，
∴h（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
∴h_min（x）=h（2）=1+$\frac{9}{8}$=$\frac{17}{8}$
∴b≥$\frac{17}{8}$，
（ii）不妨設(shè)1＜x₁≤x₂≤2，由函數(shù)f（x）在（1，2]上是增函數(shù)，函數(shù)y=$\frac{1}{x}$在（1，2]是減函數(shù)，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤λ|$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$|等價(jià)于f（x₂）-f（x₁）≤λ（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$），
∴f（x₂）+$\frac{λ}{{x}_{2}}$≤f（x₁）+$\frac{λ}{{x}_{1}}$
設(shè)φ（x）=f（x）+$\frac{λ}{x}$=lnx-$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{4x}$-1+$\frac{λ}{x}$是減函數(shù)，
所以φ'（x）≤0在（1，2]上恒成立，
即$\frac{3}{4}$+λ≥x-$\frac{1}{4}$x²=-$\frac{1}{4}$（x-2）²+1≥1，
解得λ≥$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性以及利用函數(shù)的單調(diào)性解含參數(shù)的不等式的問(wèn)題，是較難的題目．