Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，且在[0，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)y=f（x+1）的圖象關(guān)于點（-1，0）對稱，若對任意的x，y∈R，f（y-3）+f（$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$）=0恒成立，則$\frac{y}{x}$的取值范圍是（　　）

• A． [2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，2$+\frac{2\sqrt{3}}{3}$]
• B． [2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，3]
• C． [1，2$+\frac{2\sqrt{3}}{3}$]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 由平移規(guī)律，可得y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，則f（x）為奇函數(shù)，即有f（-x）=-f（x），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等式可化為y-3=-$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$，平方即可得到y(tǒng)為以（2，3）為圓心，1為半徑的下半圓，再由直線的斜率公式，$\frac{y}{x}$=$\frac{y-0}{x-0}$可看作是半圓上的點與原點的連線的斜率，通過圖象觀察，過O的直線OA，OB的斜率即為最值，求出它們即可．

解答 解：函數(shù)y=f（x）的圖象可由y=f（x+1）的圖象
向右平移1個單位得到，
由于y=f（x+1）的圖象關(guān)于點（-1，0）對稱，
則y=f（x）的圖象關(guān)于原點對稱，
則f（x）為奇函數(shù)，即有f（-x）=-f（x），
則等式f（y-3）+f（$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$）=0恒成立
即為f（y-3）=-f（$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$）=f（-$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$），
又f（x）是定義在R上的增函數(shù)，
則有y-3=-$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$，
兩邊平方可得，（x-2）²+（y-3）²=1，
即有y=3-$\sqrt{4x-{x}^{2}-3}$為以（2，3）為圓心，1為半徑的下半圓，
則$\frac{y}{x}$=$\frac{y-0}{x-0}$可看作是半圓上的點與原點的連線的斜率，
如圖，k_OA=$\frac{3-0}{1-0}$=3，取得最大，過O作切線OB，設(shè)OB：y=kx，
則由d=r得，$\frac{|2k-3|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得，k=2±$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
由于切點在下半圓，則取k=2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即為最小值．
則$\frac{y}{x}$的取值范圍是[2-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，3]．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的運用，考查直線的斜率和直線和圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．