Question

16．函數(shù)f₁（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一段圖象如圖所示．
（1）求函數(shù)f₁（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y=f₁（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，得函數(shù)y=f₂（x）的圖象，求y=f₂（x）的最大值，并求此時自變量x的集合．
（3）求y=f₂（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得函數(shù)y=f₂（x）的解析式，由此求得y=f₂（x）的最大值，并求此時自變量x的集合．
（3）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得y=f₂（x）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域．

解答 解：（1）f₁（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一段圖象，可得A=2，
$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{3}$-（-$\frac{π}{6}$），
∴ω=2，再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2•（-$\frac{π}{6}$）+φ=0，∴φ=$\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)f₁（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
（2）將函數(shù)y=f₁（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，
得函數(shù)y=f₂（x）=2sin（2x-2•$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的圖象，
∴y=f₂（x）的最大值為2，此時，2x-$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
此時，自變量x的集合為{x|x=kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z}．
（3）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
故當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，y=f₂（x）取得最大值為2，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時，y=f₂（x）取得最小值為-1，
故函數(shù)y=f₂（x） 在x∈[0，$\frac{π}{2}$]的值域?yàn)閇-1，2]．

點(diǎn)評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．