Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（ωx+ϕ）（-π＜ϕ＜0），若函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸相鄰兩個交點間的距離為$\frac{π}{2}$，且圖象的一條對稱軸是直線x=$\frac{π}{8}$．
（1）求ω，ϕ的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）畫出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象．

Answer 1

分析 （1）利用正弦函數(shù)的圖象的周期性求得ω的值，利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性求得φ，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（3）利用五點法作圖，作出函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象．

解答 解：（1）函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸的兩個相鄰交點間的距離為$\frac{π}{2}$，∴$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=2．
又函數(shù)圖象的一條對稱軸是直線$x=\frac{π}{8}$，∴2×$\frac{π}{4}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∵-π＜ϕ＜0，∴φ=-$\frac{3π}{4}$，f（x）=2sin（2x-$\frac{3π}{4}$）．
（2）由（1）可知$f（x）=2sin（2x-\frac{3π}{4}）$，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{3π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$ 求得：kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$，
可得函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]，k∈Z．
（3）∵x∈[0，π]，則2x-$\frac{3π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，列表：

X	0	$\frac{π}{8}$	$\frac{3π}{8}$	$\frac{5π}{8}$	$\frac{7π}{8}$	π
$2x-\frac{3π}{4}$	$-\frac{3π}{4}$	$-\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{5π}{4}$
y	$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$	-2	0	2	0	$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

所以函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]上的圖象為：
．

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，五點法作圖，屬于中檔題．