Question

10．已知平行四邊形ABCD中，∠A=45°，且AB=BD=1，將△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如圖所示：
（1）求證：AB⊥CD；
（2）求棱錐A-BCD的表面積．

Answer 1

分析 （1）由已知條件求出∠ADB=45°，從而得到AB⊥BD，利用平面ABD⊥平面BCD，由此能夠證明AB⊥DC．
（Ⅱ）利用側(cè)面積加底面積可得棱錐A-BCD的表面積．

解答 （1）證明：在△ABD中，∵AB=1，BD=1，且∠A=45°
∴∠ADB=45°，
∴AB⊥BD，
∴平面ABD⊥平面BCD，面ABD∩面BDC=BD，∴AB⊥面BDC，
∴AB⊥DC；
（2）解：由（1）可知，AB⊥BC，AD⊥CD，
∴棱錐A-BCD的表面積=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{2}$×2+$\frac{1}{2}×1×1×2$=$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查異面直線垂直的證明，考查棱錐A-BCD的表面積，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．．