Question

19．如圖，四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，PD⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2a，DA=$\sqrt{3}a$，E為BC中點．
（1）求證：平面PBC⊥平面PDE；
（2）線段PC上是否存在一點F，使PA∥平面BDF？若有，請找出具體位置，并進行證明；若無，請分析說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接BD，便可得到BD=DC，而E又是BC中點，從而得到BC⊥DE，而由PD⊥平面ABCD便可得到BC⊥PD，從而得出BC⊥平面PDE，根據面面垂直的判定定理即可得出平面PBC⊥平面PDE；
（2）連接AC，交BD于O，根據相似三角形的比例關系即可得到AO=$\frac{1}{2}OC$，從而在PC上找F，使得PF=$\frac{1}{2}FC$，連接OF，從而可說明PA∥平面BDF，這樣即找到了滿足條件的F點．

解答 解：（1）證明：連結BD，∠BAD=90°，$AB=a，DA=\sqrt{3}a$；

∴BD=DC=2a，E為BC中點，∴BC⊥DE；
又PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD；
∴BC⊥PD，DE∩PD=D；
∴BC⊥平面PDE；
∵BC?平面PBC；
∴平面PBC⊥平面PDE；
（2）如上圖，連結AC，交BD于O點，則：△AOB∽△COD；
∵DC=2AB；
∴$\frac{AB}{DC}=\frac{AO}{OC}=\frac{1}{2}$；
∴$AO=\frac{1}{2}OC$；
∴在PC上取F，使$PF=\frac{1}{2}FC$；
連接OF，則OF∥PA，而OF?平面BDF，PA?平面BDF；
∴PA∥平面BDF．

點評 考查直角三角形邊的關系，等腰三角形中線也是高線，以及線面垂直的性質，線面垂直的判定定理，相似三角形邊的比例關系，線面平行的判定定理．