Question

19．對(duì)于定義域和值域均為[0，1]的函數(shù)f（x），定義f₁（x）=f（x）、f₂（x）=f（f₁（x）），…，n=1，2，3…，滿足fn（x）=x的點(diǎn)x∈[0，1]為f的n階周期點(diǎn)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x，0≤x≤\frac{1}{2}}\\{2-2x，\frac{1}{2}＜x≤1}\end{array}\right.$，則f的n階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 2n
• B． 2（2n-1）
• C． 2ⁿ
• D． 2n²

Answer 1

分析 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，方法是根據(jù)已知條件和遞推關(guān)系，先求出f的1階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)，2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后總結(jié)歸納其中的規(guī)律，f的n階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{2}$]時(shí)，f₁（x）=2x=x，解得x=0，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，1]時(shí)，f₁（x）=2-2x=x，解得x=$\frac{2}{3}$，
∴f的1階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2；
當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{4}$]時(shí)，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x=x解得x=0，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x=x解得x=$\frac{2}{5}$，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]時(shí)，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=-2+4x=x解得x=$\frac{2}{3}$，
當(dāng)x∈（$\frac{3}{4}$，1]時(shí)，f₁（x）=2-2x，f₂（x）=4-4x=x解得x=$\frac{4}{5}$，
∴f的2階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2²；
當(dāng)x∈[0，$\frac{1}{8}$]，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x，f₃（x）=8x=x，x=0，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$]，f₁（x）=2x，f₂（x）=4x，f₃（x）=2-8x=x，x=$\frac{2}{9}$，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{8}$]，f₁（x）=2x，f₂（x）=2-4x，f₃（x）=2-2（2-4x）=x，x=$\frac{2}{7}$，
…
依此類推
∴f的n階周期點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2ⁿ；
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題分段函數(shù)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想），屬于中檔題．