Question

10．已知點(diǎn)A₁（a₁，1），A₂（a₂，2），…，A_n（a_n，n）（n∈N^*）在函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$x的圖象上，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ；設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M_n（a_n，0）（n∈N^*），則△OA₁M₁，△OA₂M₂，…，△OA_nM_n中，面積的最大值是$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 由對(duì)數(shù)函數(shù)可得通項(xiàng)公式，又可得△OA_nM_n的面積S_n的表達(dá)式，由函數(shù)的單調(diào)性可得．

解答 解：由題意可得n=log${\;}_{\frac{1}{3}}$a_n，∴a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
又可得△OA_nM_n的面積S_n=$\frac{1}{2}$×a_n×n=$\frac{1}{2}$n（$\frac{1}{3}$）ⁿ，
構(gòu)造函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x（$\frac{1}{3}$）^x，可判函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)n=1時(shí)，S_n取最大值$\frac{1}{6}$
故答案為：a_n=（$\frac{1}{3}$）ⁿ；$\frac{1}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，涉及函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題．