Question

9．如圖，拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點為F，其準(zhǔn)線l與x軸交于點A，過拋物線E上的動點p作PD⊥l于點D．當(dāng)∠DPF=$\frac{2π}{3}$時，|PF|=4．
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）過點P作直線m⊥DF，求直線m與拋物線E的交點個數(shù)；
（Ⅲ）點C是△DPF的外心，是否存在點P，使得△CDP的面積最小．若存在，請求出面積的最小值及P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過點P作PQ⊥x軸于點Q，運(yùn)用拋物線的定義，結(jié)合解直角三角形，可得p=6，即可得到拋物線方程；
（Ⅱ）當(dāng)點P為原點O時，直線m的方程：x=0與拋物線E切于點O；設(shè)P（x₀，y₀），求出直線m的方程，代入拋物線方程，即可得證；
（Ⅲ）求出圓心C的坐標(biāo)，求得|BC|，|DP|，可得S_△CDP=$\frac{1}{2}$|BC|•|DP|，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求得極值也為最值，即可得到結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）過點P作PQ⊥x軸于點Q，當(dāng)∠DPF=$\frac{2π}{3}$時，|PF|=4，
∴|PF|=|PD|=4，
則∠FPQ=$\frac{π}{6}$，
RT△PQF中，|QF|=|PF|sin$\frac{π}{6}$=2，
又|DP|=|PF|，即有|AF|=|DP|+|QF|=6，即 p=6，
則拋物線E的方程：y²=12x，
（Ⅱ）當(dāng)點P為原點O時，直線m的方程：x=0與拋物線E切于點O；
設(shè)P（x₀，y₀），則D（-3，y₀），F(xiàn)（3，0），k_DF=-$\frac{{y}_{0}}{6}$，即有直線m的斜率為k=$\frac{6}{{y}_{0}}$，
直線m：y-y₀=$\frac{6}{{y}_{0}}$（x-x₀），化簡得：6x=y₀y-y₀²+6x₀，
代入y²=12x得y²=2（y₀y-y₀²+6x₀），
即有y²-2y₀y+y₀²=0，則y=y₀（△=0），
則直線m與拋物線E有且只有一個交點P．
（Ⅲ）由已知得DP的中垂線：x=$\frac{{x}_{0}-3}{2}$，與直線m：6x=y₀y-y₀²+6x₀聯(lián)立，
得到圓心C的縱坐標(biāo)y_C=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-3{{x}_{0}}^{2}-9}{{y}_{0}}$，
即有|BC|=|y₀-y_C|=|y₀-$\frac{{{y}_{0}}^{2}-3{{x}_{0}}^{2}-9}{{y}_{0}}$|=|$\frac{{{y}_{0}}^{2}+36}{4{y}_{0}}$|，
又|DP|=x₀+3，則S_△CDP=$\frac{1}{2}$|BC|•|DP|=|$\frac{（{{y}_{0}}^{2}+36）^{2}}{96{y}_{0}}$|=$\frac{1}{96}$|y₀³+72y₀+$\frac{1296}{{y}_{0}}$|

不妨設(shè)f（y₀）=y₀³+72y₀+$\frac{1296}{{y}_{0}}$（y₀＞0），
由f′（y₀）=3y₀²+72-$\frac{1296}{{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{3（{y}_{0}-2\sqrt{3}）（{{y}_{0}}^{2}+2\sqrt{3}）（{{y}_{0}}^{2}+36）}{{{y}_{0}}^{2}}$
由f′（y₀）＜0，得0＜y₀＜2$\sqrt{3}$，由f′（y₀）＞0，得y₀＞2$\sqrt{3}$，
則當(dāng)y₀=2$\sqrt{3}$時，函數(shù)f（y₀）有最小值；
故當(dāng)點P的坐標(biāo)為（1，2$\sqrt{3}$）或（1，-2$\sqrt{3}$）時，
S_△CDP取得最小值4$\sqrt{3}$．

點評 本題考查拋物線定義，直線方程，直線方程與拋物線、圓的位置關(guān)系等知識，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力、推理論能力、抽象概括能力，考查數(shù)形結(jié)合的能力．