Question

13．已知在直角坐標(biāo)系xOy中，極點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，極軸與x軸正半軸重合，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ-4ρcosθ+2=0，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=4{t}^{2}}\end{array}\right.$ （t∈R）．
（1）將直線l的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，將曲線的參數(shù)方程化為普通方程；
（2）若點(diǎn)A是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ-4ρcosθ+2=0，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=4{t}^{2}}\end{array}\right.$ （t∈R），消去參數(shù)t可得普通方程．
（2）設(shè)B（t，4t²），可得點(diǎn)B到直線l的距離d=$\frac{4（t-\frac{1}{2}）^{2}+1}{\sqrt{17}}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）直線l的極坐標(biāo)方程為ρsinθ-4ρcosθ+2=0，
可得直角坐標(biāo)方程：y-4x+2=0．
曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=4{t}^{2}}\end{array}\right.$ （t∈R），
消去參數(shù)t可得普通方程：y=4x²．
（2）設(shè)B（t，4t²），
可得點(diǎn)B到直線l的距離d=$\frac{|4{t}^{2}-4t+2|}{\sqrt{17}}$=$\frac{4（t-\frac{1}{2}）^{2}+1}{\sqrt{17}}$≥$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)取等號(hào)．
此時(shí)B$（\frac{1}{2}，1）$，
此時(shí)|AB|取最小值是$\frac{\sqrt{17}}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、點(diǎn)到直線的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．