Question

3．已知函數(shù)f（x）=|lnx|，關(guān)于x的不等式f（x）-f（x₀）≥c（x-x₀）的解集為（0，+∞），c為常數(shù)，當x₀=1時，c的取值范圍是[-1，1]；當x₀=$\frac{1}{2}$時，c的值是-2．

Answer 1

分析 當0＜x＜1時，f（x）=-lnx，f′（x）=-$\frac{1}{x}$∈（-∞，-1），當x＞1時，f（x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$∈（0，1），進而將x₀=1和${x_0}=\frac{1}{2}$代入，結(jié)合斜率公式分類討論可得答案．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=|lnx|，
當0＜x＜1時，f（x）=-lnx，f′（x）=-$\frac{1}{x}$∈（-∞，-1），
當x＞1時，f（x）=lnx，f′（x）=$\frac{1}{x}$∈（0，1），
①當x₀=1時，f（x）-f（x₀）≥c（x-x₀）可化為：f（x）-f（1）≥c（x-1）
當0＜x＜1時，f（x）-f（1）≥c（x-1）可化為：$\frac{f（x）-f（1）}{x-1}$≤c，則c≥-1，
當x＞1時，f（x）-f（1）≥c（x-1）可化為：$\frac{f（x）-f（1）}{x-1}$≥c，則c≤1，
故c∈[-1，1]；
②當x₀=$\frac{1}{2}$時，f（x）-f（x₀）≥c（x-x₀）可化為：f（x）-f（$\frac{1}{2}$）≥c（x-$\frac{1}{2}$）
當0＜x＜$\frac{1}{2}$時，f（x）-f（$\frac{1}{2}$）≥c（x-$\frac{1}{2}$）可化為：$\frac{f（x）-f（\frac{1}{2}）}{x-\frac{1}{2}}$≤c，則c≥f′（$\frac{1}{2}$）=-2，
當$\frac{1}{2}$＜x＜1時，f（x）-f（$\frac{1}{2}$）≥c（x-$\frac{1}{2}$）可化為：$\frac{f（x）-f（\frac{1}{2}）}{x-\frac{1}{2}}$≥c，則c≤f′（$\frac{1}{2}$）=-2，
當x＞1時，f（x）-f（$\frac{1}{2}$）≥c（x-$\frac{1}{2}$）可化為：$\frac{f（x）-f（\frac{1}{2}）}{x-\frac{1}{2}}$≥c，則c≤1，
故c=-2，
故答案為：[-1，1]，-2

點評 本題考查的知識點是分段函數(shù)的應(yīng)用，對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，導數(shù)的幾何意義，難度中檔．