Question

15．已知等差數(shù)列{a_n}的公差為1，且a₂是a₁與a₄的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{2ⁿ•a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₂是a₁與a₄的等比中項(xiàng)，∴${a}_{2}^{2}$=a₁•a₄，
∴$（{a}_{1}+1）^{2}$=a₁•（a₁+3），化為a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）2ⁿ•a_n=n•2ⁿ．
數(shù)列{2ⁿ•a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2S_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．