Question

17．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左焦點F（-3，0），P為橢圓上一動點，橢圓內部點M（-1，3）滿足PF+PM的最大值為17，則橢圓的離心率為（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 設右焦點為Q，求得Q（3，0），運用橢圓的定義可得即|PF|=2a-|PQ|，則|PM|+|PF|=2a+（|PM|-|PQ|）≤2a+|MQ|，當P，M，Q三點共線時，取得最大值，解得a=6，運用離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：設右焦點為Q，
由F（-3，0），可得Q（3，0），
由橢圓的定義可得|PF|+|PQ|=2a，
即|PF|=2a-|PQ|，
則|PM|+|PF|=2a+（|PM|-|PQ|）≤2a+|MQ|，
當P，M，Q共線時，取得等號，即最大值2a+|MQ|，
由|MQ|=$\sqrt{（-1-3）^{2}+{3}^{2}}$=5，可得2a+5=17，
所以a=6，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
故選：A．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質，主要是離心率的求法，注意運用定義法和三點共線取得最值，考查運算能力，屬于中檔題．