Question

8．已知橢圓的中心是坐標原點O，焦點在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短軸長為2，定點A（2，0），點P在已知橢圓上，動點Q滿足$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$．
（1）求動點Q的軌跡方程；
（2）過橢圓右焦點F的直線與橢圓交于點M，N，當|MN|最小時，求△AMN的面積．

Answer 1

分析 （1）依題意運用離心率公式和a，b，c的關(guān)系，易求得橢圓的標準方程．設(shè)出點Q的坐標，結(jié)合定點A（2，0），P在已知橢圓上以及關(guān)系式$\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}$．可以求動點Q軌跡方程；
（2）設(shè)點A到直線MN的距離為d，則△AMN的面積$S=\frac{1}{2}\left|MN\right|d$，其中|MN|可以利用弦長公式求得，利用函數(shù)或基本不等式求最值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
由題意可知$\left\{\begin{array}{l}e=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ b=1\\{c}^{2}={a}^{2}-^{2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ b=1\\{c}^{2}={a}^{2}-1\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{2}\\ b=1\\ c=1\end{array}\right.$，
故橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
設(shè)Q（x，y），P（x₁，y₁），因為A（2，0），
所以$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OQ}=（2-x，-y）=（{x}_{1}，{y}_{1}）$，
所以x₁=2-x，y₁=-y，
又點P在已知橢圓上，
故$\frac{{（x-2）}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$為動點Q的軌跡方程．
（2）橢圓的右焦點F（1，0），設(shè)直線MN的方程是x=my+1，與$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$聯(lián)立，
可得（m²+2）y²+2my-1=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁=my₁+1，x₂=my₁₂+1，
由題意y₁，y₂滿足方程（m²+2）y²+2my-1=0，
△=4m²+4（m²+2）＞0即m²+1＞0，
則方程根與系數(shù)的關(guān)系可得：${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{2m}{（{m}^{2}+2）}{，y}_{1}{y}_{2}=\frac{-1}{（{m}^{2}+2）}$
即有$\left|MN\right|=\sqrt{{（{x}_{1}-{x}_{2}）}^{2}+{（{y}_{1}-{y}_{2}）}^{2}}=\sqrt{（{m}^{2}+1）}|{y}_{1}-{y}_{2}|$，
又 $\left|{y}_{1}-{y}_{2}\right|=\sqrt{{（{y}_{1}-{y}_{2}）}^{2}}=\sqrt{{（{y}_{1}+{y}_{2}）}^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{{（\frac{-2m}{{m}^{2}+2}）}^{2}-4×（\frac{-1}{{m}^{2}+2}）}$=$\frac{2\sqrt{2（{m}^{2}+1）}}{{m}^{2}+2}$
則$\left|MN\right|=\frac{2\sqrt{2}（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$，
點A（2，0）到直線MN的距離$d=\frac{1}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$，
于是△AMN的面積$S=\frac{1}{2}\left|MN\right|d=\frac{\sqrt{2（{m}^{2}+1）}}{{m}^{2}+2}$
=$\sqrt{\frac{2}{（{m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+2}}≤\sqrt{\frac{2}{2\sqrt{（{m}^{2}+1）×（\frac{1}{{m}^{2}+1}}）+2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當且僅當${m}^{2}+1=\frac{1}{{m}^{2}+1}$，即m=0時取到等號．
故△AMN的面積的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法和運用，考查軌跡方程的求法，注意運用代入法，同時考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和判別式，以及弦長公式，考查運算化簡能力，屬于中檔題．