Question

2．已知函數(shù)$f（x）=cos（{2x-\frac{π}{3}}）+{sin^2}x-{cos^2}x+\sqrt{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若存在$t∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$滿足[f（t）]²-2$\sqrt{2}$f（t）-m＞0，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\sqrt{2}$，由周期公式可求函數(shù)f（x）的最小正周期，由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），即可解得單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）當$t∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$時，可得：$2t-\frac{π}{6}∈[{0，\frac{π}{2}}]$，解得：$f（t）=sin（{2t-\frac{π}{6}}）+\sqrt{2}∈[{\sqrt{2}，\sqrt{2}+1}]$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解．

解答 解：（1）∵$f（x）=\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+{sin^2}x-{cos^2}x+\sqrt{2}$
=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-cos2x+\sqrt{2}=sin（{2x-\frac{π}{6}}）+\sqrt{2}$，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=π．
∵由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），得$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$（k∈Z），
∴單調(diào)遞增區(qū)間為$[{kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}}]$（k∈Z）．
（2）當$t∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$時，可得：$2t-\frac{π}{6}∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
解得：$f（t）=sin（{2t-\frac{π}{6}}）+\sqrt{2}∈[{\sqrt{2}，\sqrt{2}+1}]$
$⇒F（t）={[f（t）]^2}-2\sqrt{2}f（t）={[f（t）-\sqrt{2}]^2}-2∈[{-2，-1}]$．
存在$t∈[{\frac{π}{12}，\frac{π}{3}}]$，滿足F（t）-m＞0的實數(shù)m的取值范圍為（-∞，-1）．

點評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．