Question

14．三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底是邊長為1的正三角形，高AA₁=1，在AB上取一點P，設(shè)△PA₁C₁與面A₁B₁C₁所成的二面角為α，△PB₁C₁與面A₁B₁C₁所成的二面角為β，則tan（α+β）的最小值是-$\frac{8\sqrt{3}}{13}$．

Answer 1

分析 作PP₁⊥A₁B₁，過P₁作P₁H⊥A₁C₁，由三垂線定理得∠PHP₁=α，設(shè)AP=x，求出tanα，同理求出tanβ，由此利用正切加法定理能求出tan（α+β）的最小值．

解答 解：作PP₁⊥A₁B₁，則PP₁是三棱柱的高．
過P₁作P₁H⊥A₁C₁，連結(jié)PH，則∠PHP₁=α，
設(shè)AP=x，BP=1-x（0≤x≤1），則$tanα=\frac{2}{{\sqrt{3}x}}$，
同理$tanβ=\frac{2}{{\sqrt{3}（1-x）}}$，
∴$tan（α+β）=\frac{{2\sqrt{3}}}{3x（1-x）-4}≥-\frac{8}{13}\sqrt{3}$（當$x=\frac{1}{2}$時取等號），
∴tan（α+β）的最小值是-$\frac{8\sqrt{3}}{13}$．
故答案為：-$\frac{8\sqrt{3}}{13}$．

點評 本題考查兩角和正切的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三垂線定理和正切加法定理的合理運用．