Question

6．定義在R上的函數(shù)f（x）=ax²+bx²+cx+3同時滿足以下條件：
①f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
②f′（x）是偶函數(shù)；
③f（x）的圖象在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=4lnx-m，若存在x∈[1，e]，使g（x）＜f′（x），求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用題中的已知條件，分別求出a、b、c的值，進(jìn)一步求出函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的解析式，進(jìn)一步求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用函數(shù)的存在性問題即m＞f（x），只需滿足：m＞（f（x））_min即可．從而通過求函數(shù)的最小值確定結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）定義在R上的函數(shù)f（x）=ax²+bx²+cx+3，
所以：f′（x）=3ax²+2bx+c
①f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
所以：f′（1）=3a+2b+c=0，③
②f′（x）=3ax²+2bx+c是偶函數(shù)；
則：b=0．
f（x）的圖象在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．
所以：f′（0）=-1④
解得：c=-1．⑤
把④⑤代入③解得：a=$\frac{1}{3}$
則：$f（x）=\frac{1}{3}{x}^{3}-x+3$
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=x²-1，
設(shè)g（x）=4lnx-m，若存在x∈[1，e]，
使得：4lnx-m＜x²-1
即存在x∈[1，e]，使：m＞（4lnx-x²+1）_min，
設(shè)M（x）=4lnx-x²+1 x∈[1，e]，
則：$M′（x）=\frac{4}{x}-2x$
令$M′（x）=\frac{4}{x}-2x=0$
由于 x∈[1，e]，
解得：x=$\sqrt{2}$，
當(dāng)$1≤x≤\sqrt{2}$時，M′（x）＞0，所以M（x）在[1，$\sqrt{2}$]上是增函數(shù)，
當(dāng)$\sqrt{2}≤x≤e$時，M′（x）＜0，所以M（x）在[$\sqrt{2}$，e]上是減函數(shù)．
即當(dāng)x=$\sqrt{2}$時，函數(shù)求的最大值．
M（1）=0，M（e）=5-e²＜0
所以：m＞5-e²
即m的取值范圍為：m＞5-e²

點(diǎn)評 本題考查的知識要點(diǎn)：利用函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，存在性問題的應(yīng)用，及相關(guān)的運(yùn)算問題．