Question

12．直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠B₁BC₁=30°，AB=BC=CA，M、N分別是棱AA₁、A₁B₁中點(diǎn)，則MN與AC所成的角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由題意設(shè)AB=BC=CA=2，由∠B₁BC₁=30°可得BB₁=2$\sqrt{3}$，建立空間直角坐標(biāo)系可得向量$\overrightarrow{MN}$和$\overrightarrow{AC}$的坐標(biāo)，由向量夾角的余弦值可得．

解答 解：由題意設(shè)AB=BC=CA=2，由∠B₁BC₁=30°可得BB₁=2$\sqrt{3}$，
由題意建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
可得M（-1，0，$\sqrt{3}$），N（0，0，0），A（-1，0，2$\sqrt{3}$），C（0，$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{MN}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
∴cos＜$\overrightarrow{MN}$，$\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{MN}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{1}{4}$，
∴MN與AC所成的角的余弦值為$\frac{1}{4}$
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成的角，建系轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．