Question

13．已知函數(shù)g（x）=me^x-ne^xx³，h（x）=$\frac{lnx}{x}$，f（x）=g（x）-h（x），且函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，e）處的切線與直線x-（2e+1）y-3=0垂直．
（1）求m，n的值；
（2）當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，要g（x）＞k恒成立，求k的范圍；
（3）證明：f（x）在區(qū)間（1，2）上存在唯一零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）解把g（x），h（x）代入f（x）=g（x）-h（x），求其導(dǎo)函數(shù)，由f′（1）與直線x-（2e+1）y-3=0的斜率乘積等于-1，f（1）=e聯(lián)立求得m，n的值；
（2）把x∈[-2，0]時(shí)，g（x）＞k恒成立，轉(zhuǎn)化為k＜g（x）_min在x∈[-2，0]時(shí)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求g（x）在（-2，-1）上的最小值得答案；
（3）由g′（x）在（1，2）上小于0判斷函數(shù)g（x）在（1，2）上為減函數(shù)，且在（1，2）上有一零點(diǎn)$\root{3}{2}$，同樣判斷h（x）在（1，2）上為增函數(shù)，且h（1）=0，由此可得g（x）與h（x）在（1，2）上有唯一交點(diǎn)，即f（x）=g（x）-h（x）在（1，2）上有唯一零點(diǎn)．

解答 （1）解：由函數(shù)g（x）=me^x-ne^xx³，h（x）=$\frac{lnx}{x}$，得
f（x）=g（x）-h（x）=me^x-ne^xx³-$\frac{lnx}{x}$，則${f}^{′}（x）=m{e}^{x}-n（{e}^{x}{x}^{3}+3{e}^{x}{x}^{2}）-\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
∴f′（1）=me-4ne-1，
直線x-（2e+1）y-3=0的斜率為$\frac{1}{2e+1}$，
由函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，e）處的切線與直線x-（2e+1）y-3=0垂直得：$\frac{me-4ne-1}{2e+1}=-1$  ①，
又f（1）=me-ne=e  ②，
聯(lián)立①②解得：m=2，n=1；
（2）解：g（x）=2e^x-e^xx³，
當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，要使g（x）＞k恒成立，即k＜g（x）_min在x∈[-2，0]時(shí)恒成立，
由g（x）=2e^x-e^xx³，得g′（x）=2e^x-（e^xx³+3e^xx²）=e^x（2-x³-3x²）=-e^x（x+1）（x²+2x-2），
當(dāng)x∈（-2，-1）時(shí)，g^′（x）＜0，當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)g^′（x）＞0，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，g（x）_min=g（-1）=$\frac{3}{e}$，
∴k$＜\frac{3}{e}$；
（3）證明：∵g′（x）=2e^x-（e^xx³+3e^xx²）=e^x（2-x³-3x²）=-e^x（x+1）（x²+2x-2），
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)g（x）在（1，2）上為減函數(shù)，且在（1，2）上有一零點(diǎn)$\root{3}{2}$，
h（x）=$\frac{lnx}{x}$，h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，h′（x）＞0，
∴h（x）在（1，2）上為增函數(shù)，且h（1）=0，
∴g（x）與h（x）在（1，2）上有唯一交點(diǎn)，
即f（x）=g（x）-h（x）=2e^x-e^xx³-$\frac{lnx}{x}$在（1，2）上有唯一零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，是壓軸題．