Question

18．如圖，已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，其左、右頂點分別為A₁（-2，0），A₂（2，0）．過點D（1，0）的直線l與該橢圓相交于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線A₁M與NA₂的斜率分別為k₁，k₂，試問：是否存在實數(shù)λ，使得k₂=λk₁？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得a，結(jié)合離心率得c，再由隱含條件求得b得答案；
（Ⅱ）設(shè)直線A₁M的方程為y=k₁（x+2），直線NA₂的方程為y=k₂（x-2）．分別聯(lián)立直線方程和橢圓方程求得M，N的坐標(biāo)，結(jié)合M，D，N三點共線可得k₂=3k₁．說明存在λ=3，使得結(jié)論成立．

解答 解：（Ⅰ）依題意可知a=2．
∵$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴c=$\sqrt{3}$，得$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=1$．
∴橢圓C的方程為：$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$；
（Ⅱ）設(shè)直線A₁M的方程為y=k₁（x+2），直線NA₂的方程為y=k₂（x-2）．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$（4{{k}_{1}}^{2}+1）{x}^{2}+16{k}_{1}x+16{{k}_{1}}^{2}-4=0$．
解得點M的坐標(biāo)為（$\frac{2-8{{k}_{1}}^{2}}{4{{k}_{1}}^{2}+1}$，$\frac{4{k}_{1}}{4{{k}_{1}}^{2}+1}$），
同理，可解得點N的坐標(biāo)為（$\frac{8{{k}_{2}}^{2}-2}{4{{k}_{2}}^{2}+1}$，$-\frac{4{k}_{2}}{4{{k}_{2}}^{2}+1}$）．
由M，D，N三點共線，得$\frac{\frac{4{k}_{1}}{4{{k}_{1}}^{2}+1}}{\frac{2-8{{k}_{1}}^{2}}{4{{k}_{1}}^{2}+1}-1}$=$\frac{\frac{-4{k}_{2}}{4{{k}_{2}}^{2}+1}}{\frac{8{{k}_{2}}^{2}-2}{4{{k}_{2}}^{2}+1}-1}$，化簡有（4k₁k₂+1）（k₂-3k₁）=0．
∵k₁，k₂同號，∴4k₁k₂+1＞0，則k₂=3k₁．
故存在λ=3，使得結(jié)論成立．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，是中檔題．