考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(I)利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得g′(x)=
,分別解出令g′(x)=0,令g′(x)>0,令g′(x)<0,即可得出函數(shù)g(x)取得極值;
(II)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x-2lnx-1,可得f′(x),h(x)=x
3+x
2(1-
+
)=
x3+(1+)x2-2x,h′(x)=3x
2+(2+m)x-2,又h′(0)=-2.由函數(shù)h(x)在區(qū)間(2,3)上不是單調(diào)函數(shù),可得方程h′(x)=0在區(qū)間(2,3)上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得
,解出即可.
(III)當(dāng)a<0時(shí),
f′(x)=1->0在x∈[3,4]上恒成立,可得函數(shù)f(x)在x∈[3,4]上單調(diào)遞增.設(shè)u(x)=
=
,同理利用u′(x)>0在x∈[3,4]上恒成立,可得u(x)在x∈[3,4]上為增函數(shù).不妨設(shè)x
2>x
1,則|f(x
2)-f(x
1)|<|
-
|恒成立?f(x
2)-f(x
1)<u(x
2)-u(x
1)恒成立,即f(x
2)-u(x
2)<f(x
1)-u(x
1)在x∈[3,4]上恒成立.設(shè)F(x)=f(x)-u(x)=x-alnx-1
-.則F(x)在x∈[3,4]上為減函數(shù).分離參數(shù)利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步研究即可得出.
解答:
解:(I)g′(x)=
,
令g′(x)=0,解得x=1;
令g′(x)>0,解得x<1,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞增;
令g′(x)<0,解得x>1,此時(shí)函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.
∴當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)g(x)取得極大值,g(1)=1.無極小值.
(II)當(dāng)a=2時(shí),f(x)=x-2lnx-1,
f′(x)=1-,
∴h(x)=x
3+x
2(1-
+
)=
x3+(1+)x2-2x,
h′(x)=3x
2+(2+m)x-2,
又h′(0)=-2.
∵函數(shù)h(x)在區(qū)間(2,3)上不是單調(diào)函數(shù),
∴方程h′(x)=0在區(qū)間(2,3)上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
從而
,即
,解得
-<m<-7.
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為
(-,-7).
(III)當(dāng)a<0時(shí),
f′(x)=1->0在x∈[3,4]上恒成立,∴函數(shù)f(x)在x∈[3,4]上單調(diào)遞增.
設(shè)u(x)=
=
,∵
u′(x)=>0在x∈[3,4]上恒成立,
∴u(x)在x∈[3,4]上為增函數(shù).
不妨設(shè)x
2>x
1,則|f(x
2)-f(x
1)|<|
-
|恒成立
?f(x
2)-f(x
1)<u(x
2)-u(x
1)恒成立,即f(x
2)-u(x
2)<f(x
1)-u(x
1)在x∈[3,4]上恒成立.
設(shè)F(x)=f(x)-u(x)=x-alnx-1
-.則F(x)在x∈[3,4]上為減函數(shù).
F′(x)=1--≤0在x∈[3,4]上恒成立,化為
a≥x-ex-1+恒成立.
設(shè)H(x)=
x-ee-1+,
∵H′(x)=1-e
x-1+
=1-e
x-1[(-)2+],x∈[3,4].
∴e
x-1[(-)2+]>e2>1,x∈[3,4].
∴H′(x)<0在x∈[3,4]上恒成立,即H(x)為減函數(shù).
∴H(x)在x∈[3,4]上的最大值為H(3)=
3-e2.
∴
a≥3-e2,
∴a的最小值為
3-e2.
點(diǎn)評(píng):本題考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值,考查了分類討論的思想方法,考查了恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法,屬于難題.