Question

9．若x₀∈R滿足f（x₀）=x₀，則稱x₀為f（x）的不動點．
（1）若函數(shù)f（x）=x²+ax+a沒有不動點，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）=-lnx+3的不動點x₀∈[n，n+1），n∈Z，求n的值．

Answer 1

分析 （1）令f（x）=x無解，根據(jù)判別式得出結(jié)論；
（2）令g（x）=f（x）-x，則由零點的存在性定理可知g（n）•g（n+1）＜0．逐個判斷即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+ax+a沒有不動點，
∴x²+ax+a=x無解，即x²+（a-1）x+a=0無解．
∴△=（a-1）²-4a＜0．解得3-2$\sqrt{2}$＜a＜3+2$\sqrt{2}$．
∴實數(shù)a的取值范圍是（3-2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$）．
（2）令g（x）=-lnx+3-x，則g（x）在[n，n+1）上有零點．
∵g（1）=2＞0，g（2）=1-ln2＞0，g（3）=-ln3＜0，
∴g（x）的零點在（2，3）上．
∴n=2．

點評 本題考查了二次函數(shù)解得個數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，根的存在性定理，屬于基礎(chǔ)題．