Question

1．如圖，四邊形ABCD外接于圓，AC是圓周角∠BAD的角平分線，過點C的切線與AD延長線交于點E，AC交BD于點F．
（Ⅰ）求證：BD∥CE；
（Ⅱ）若AB是圓的直徑，AB=4，DE=1，求AD的長度．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)圓的切線性質結合角平分線的性質即可證明BD∥CE；
（Ⅱ）若AB是圓的直徑，AB=4，DE=1，根據(jù)三角形相似的性質即可求AD的長度．

解答 解：（Ⅰ）∵AC是圓周角∠BAD的角平分線，∴∠EAC=∠BAC，
又∵CE是圓的切線，∴∠ECD=∠EAC，∴∠ECD=∠BAC，
又∵∠BAC=∠BDC，∴∠ECD=∠BDC，
∴BD∥CE…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠ECD=∠BAC，∠CED=∠ADB，
∵AB是圓的直徑，∴∠ACB=∠ADB=90°，∴∠CED=∠ACB=90°，
∴$Rt△CED\～Rt△ACB$，∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DC}{BA}$，
∵∠EAC=∠DBC，由（Ⅰ）知∠EAC=∠BDC，∴∠DBC=∠BDC，∴DC=BC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{DC}{BA}=\frac{BC}{AB}$，則BC²=AB•DE=4，∴BC=2
∴在Rt△ABC中，$BC=\frac{1}{2}AB$，∴∠BAC=30°，∴∠BAD=60°，
∴在Rt△ABD中，∠ABD=30°，
所以$AD=\frac{1}{2}AB=2$．…10分．

點評 本題主要考查與圓有關的性質的應用，根據(jù)直線和圓的性質，結合三角形相似的性質是解決本題的關鍵．