Question

10．設(shè)m、n∈R，a、b∈（1，+∞），若a^m=bⁿ=2016，a+b=24$\sqrt{14}$，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最大值是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由指對(duì)互化和a^m=bⁿ=2016求出m、n，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出$\frac{1}{m}、\frac{1}{n}$，根據(jù)條件和基本不等式求出ab的范圍，代入$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$后由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出最小值．

解答 解：∵a^m=bⁿ=2016，a、b∈（1，+∞），
∴m=${log}_{a}^{2016}$，n=${log}_^{2016}$，
則$\frac{1}{m}{=log}_{2016}^{a}$，$\frac{1}{n}{=log}_{2016}^$，
∵a+b=24$\sqrt{14}$，∴ab≤${（\frac{a+b}{2}）}^{2}$=${（\frac{24\sqrt{14}}{2}）}^{2}$=2016，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=${log}_{2016}^{a}$+${log}_{2016}^$=${log}_{2016}^{（ab）}$≤${log}_{2016}^{2016}$=1，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值是1，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，指對(duì)互化，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值的應(yīng)用，屬于中檔題．