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【題目】設，函數.

（1）若，極大值；

（2）若無零點，求實數的取值范圍；

（3）若有兩個相異零點，，求證：.

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】分析：（1），根據導數的符號可知的極大值為；

（2） ，就分類討論即可；

（3）根據可以得到，因此原不等式的證明可化為，可用導數證明該不等式.

詳解:（1）當時，，

當時，，當時，，

故的極大值為.

（2），

①若時，則，是區(qū)間上的增函數，

∵，，

∴，函數在區(qū)間有唯一零點；

②若，有唯一零點；

③若，令，得，

在區(qū)間上，，函數是增函數；

在區(qū)間上，，函數是減函數；

故在區(qū)間上，的極大值為，

由于無零點，須使，解得，

故所求實數的取值范圍是．

（3）由已知得，

所以，

故等價于即．

不妨設，令，，

則，在上為單調增函數，

所以即，也就是，故原不等式成立．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】觀察下列三角形數表：
假設第n行的第二個數為 ，
（1）歸納出an+1與an的關系式，并求出an的通項公式；
（2）設anbn=1（n≥2），求證：b2+b3+…+bn＜2．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】為了對2016年某校中考成績進行分析，在60分以上的全體同學中隨機抽出8位，他們的數學分數（已折算為百分制）從小到大排是60、65、70、75、80、85、90、95，物理分數從小到大排是72、77、80、84、88、90、93、95． 參考公式：相關系數 ，
回歸直線方程是： ，其中 ，
參考數據： ， ， ， ．
（1）若規(guī)定85分以上為優(yōu)秀，求這8位同學中恰有3位同學的數學和物理分數均為優(yōu)秀的概率；
（2）若這8位同學的數學、物理、化學分數事實上對應如下表：

學生編號

1

2

3

4

5

6

7

8

數學分數x

60

65

70

75

80

85

90

95

物理分數y

72

77

80

84

88

90

93

95

化學分數z

67

72

76

80

84

87

90

92

①用變量y與x、z與x的相關系數說明物理與數學、化學與數學的相關程度；
②求y與x、z與x的線性回歸方程（系數精確到0.01），當某同學的數學成績?yōu)?0分時，估計其物理、化學兩科的得分．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數是定義在上的偶函數，且當時， ．現已畫出函數在軸左側的圖象，如圖所示，并根據圖象：

（1）直接寫出函數， 的增區(qū)間；

（2）寫出函數， 的解析式；

（3）若函數， ，求函數的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下列命題正確的有________(只填序號)

①若直線與平面有無數個公共點,則直線在平面內;

②若直線l上有無數個點不在平面α內,則l∥α;

③若兩條異面直線中的一條與一個平面平行,則另一條直線一定與該平面相交;

④若直線l與平面α平行,則l與平面α內的直線平行或異面;

⑤若平面α∥平面β,直線aα,直線bβ,則直線a∥b.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】若D′是平面α外一點，則下列命題正確的是（ ）
A.過D′只能作一條直線與平面α相交
B.過D′可作無數條直線與平面α垂直
C.過D′只能作一條直線與平面α平行
D.過D′可作無數條直線與平面α平行

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費（單位：萬元）對年銷售量（單位：噸）和年利潤（單位：萬元）的影響。對近六年的年宣傳費和年銷售量的數據作了初步統(tǒng)計，得到如下數據：

年份

2013

2014

2015

2016

2017

2018

年宣傳費（萬元）

38

48

58

68

78

88

年銷售量（噸）

16.8

18.8

20.7

22.4

24.0

25.5

經電腦擬，發(fā)現年宣傳費（萬元）與年銷售量（噸）之間近似滿足關系式即。對上述數據作了初步處理，得到相關的值如下表：

75.3

24.6

18.3

101.4

（1）根據所給數據，求關于的回歸方程；

（2）規(guī)定當產品的年銷售量（噸）與年宣傳費（萬元）的比值在區(qū)間內時認為該年效益良好�，F從這6年中任選2年，記其中選到效益良好年的數量為，試求隨機變量的分布列和期望。（其中為自然對數的底數， ）

附：對于一組數據，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】各項均為正數的數列{bn}的前n項和為Sn ， 且對任意正整數n，都有2Sn=bn（bn+1）．
（1）求數列{bn}的通項公式；
（2）如果等比數列{an}共有2015項，其首項與公比均為2，在數列{an}的每相鄰兩項ak與ak+1之間插入k個（﹣1）kbk（k∈N*）后，得到一個新的數列{cn}．求數列{cn}中所有項的和；
（3）如果存在n∈N* ， 使不等式 成立，求實數λ的范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知點C為圓（x+1）2+y2=8的圓心，P是圓上的動點，點Q在圓的半徑CP上，且有點A（1，0）和AP上的點M，滿足 =0， =2 ．
（1）當點P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程；
（2）若斜率為k的直線 l與圓x2+y2=1相切，直線 l與（1）中所求點Q的軌跡交于不同的兩點F，H，O是坐標原點，且 ≤ ≤ 時，求k的取值范圍．

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