Question

6．已知正項數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S${\;}_{n}^{2}$-（n²+n-1）S_n-n（n+1）=0（n∈N^*），數列{b_n}滿足b₁=$\frac{{a}_{1}}{2}$，且b_n+1+b_n=0（n∈N^*）．
（1）求a₁的值及數列{a_n}的通項公式；
（2）設c_n=$\frac{（2n+1）_{n}}{{S}_{n}}$，數列{c_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關系即可得出；
（2）數列{b_n}滿足b₁=$\frac{{a}_{1}}{2}$=1，且b_n+1+b_n=0（n∈N^*）．可得b_n=（-1）ⁿ⁺¹．c_n=$\frac{（-1）^{n+1}（2n+1）}{n（n+1）}$=（-1）ⁿ⁺¹$（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$，對n分類討論，“裂項求和”即可得出．

解答 解：（1）∵S${\;}_{n}^{2}$-（n²+n-1）S_n-n（n+1）=0（n∈N^*），
∴當n=1時，${a}_{1}^{2}$-a₁-2=0，∵a_n＞0，
解得a₁=2．
又[S_n-n（n+1）]（S_n+1）=0，∵a_n＞0，
∴S_n=n（n+1），
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-n（n-1）=2n，
當n=1時上式也成立，
∴a_n=2n．
（2）∵數列{b_n}滿足b₁=$\frac{{a}_{1}}{2}$=1，且b_n+1+b_n=0（n∈N^*）．
∴b_n=（-1）ⁿ⁺¹．
∴c_n=$\frac{（2n+1）_{n}}{{S}_{n}}$=$\frac{（-1）^{n+1}（2n+1）}{n（n+1）}$=（-1）ⁿ⁺¹$（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$，
∴當n為偶數時，數列{c_n}的前n項和為T_n=$（1+\frac{1}{2}）$-$（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$-…-$（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．
當n≥3為奇數時，數列{c_n}的前n項和為T_n=T_n-1+$（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$+$（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$=1+$\frac{1}{n}$=$\frac{n+1}{n}$．
當n=1時也成立，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{n+1}，n為偶數}\\{\frac{n+1}{n}，n為奇數}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了遞推關系的應用、“裂項求和”，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．