Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD．E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°．
（Ⅰ）在平面PAB內(nèi)找一點M，使得直線CM∥平面PBE，并說明理由；
（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小為45°，求直線PA與平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）延長AB交直線CD于點M，由點E為AD的中點，可得AE=ED=$\frac{1}{2}$AD，由BC=CD=$\frac{1}{2}$AD，可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四邊形BCDE為平行四邊形，即EB∥CD．利用線面平行的判定定理證明得直線CM∥平面PBE即可．
（II）如圖所示，由∠ADC=∠PAB=90°，異面直線PA與CD所成的角為90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，大小為45°．PA=AD．不妨設(shè)AD=2，則BC=CD=$\frac{1}{2}$AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（-1，2，0），利用法向量的性質(zhì)、向量夾角公式、線面角計算公式即可得出．

解答 解：（I）延長AB交直線CD于點M，∵點E為AD的中點，∴AE=ED=$\frac{1}{2}$AD，
∵BC=CD=$\frac{1}{2}$AD，∴ED=BC，
∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四邊形BCDE為平行四邊形，即EB∥CD．
∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，
∵BE?平面PBE，∴CM∥平面PBE，
∵M∈AB，AB?平面PAB，
∴M∈平面PAB，故在平面PAB內(nèi)可以找到一點M（M=AB∩CD），使得直線CM∥平面PBE．
（II）如圖所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，異面直線PA與CD所成的角為90°，AB∩CD=M，
∴AP⊥平面ABCD．
∴CD⊥PD，PA⊥AD．
因此∠PDA是二面角P-CD-A的平面角，大小為45°．
∴PA=AD．
不妨設(shè)AD=2，則BC=CD=$\frac{1}{2}$AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（-1，2，0），
∴$\overrightarrow{EC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{PE}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，2），
設(shè)平面PCE的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，可得：$\left\{\begin{array}{l}{y-2z=0}\\{-x+y=0}\end{array}\right.$．
令y=2，則x=2，z=1，∴$\overrightarrow{n}$=（2，2，1）．
設(shè)直線PA與平面PCE所成角為θ，
則sinθ=$|cos＜\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AP}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{9}×2}$=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、空間角計算公式、法向量的性質(zhì)，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．