Question

6．過橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的右焦點F₂的直線交橢圓于A，B兩點，F(xiàn)₁為其左焦點，已知△AF₁B的周長為$4\sqrt{3}$，橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P為橢圓C的下頂點，橢圓C與直線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+m$相交于不同的兩點M、N．當|PM|=|PN|時，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓定義可得：4a=$4\sqrt{3}$，離心率計算公式$e=\frac{c}{a}=\frac{c}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，及其$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，即可得出．
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式、等腰三角形的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）由橢圓定義知，$4a=4\sqrt{3}，a=\sqrt{3}$，
由$e=\frac{c}{a}=\frac{c}{{\sqrt{3}}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，得c=$\sqrt{2}$，$b=\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1．
橢圓C的方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（2）由方程組$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+m\\ \frac{x^2}{3}+{y^2}=1\end{array}\right.⇒2{x^2}+2\sqrt{3}mx+3（{{m^2}-1}）=0$，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為E（x₀，y₀），
則${x_1}+{x_2}=-\sqrt{3}m$．
∴${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}m，{y_0}=\frac{m}{2}$
∴$E（{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}m，\frac{m}{2}}）$
由|PM|=|PN|得PE⊥MN，又P（0，-1）
∴${k_{PE}}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}=-1$，
∴m=1．   
滿足△=12m²-24（m²-1）＞0．
綜上m=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點坐標公式、等腰三角形的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．