Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，PA⊥底面ABCD，PA=3，AD=2，AB=4，∠ABC=60°．
（1）求證：AD⊥PC；
（2）E是側(cè)棱PB上一點(diǎn)，記

PE

=λ

PB

，是否存在實數(shù)λ，使PC⊥平面ADE？若存在，求λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接AC，分別求得AC，PC，PB，利用勾股定理證明出PC⊥BC，繼而根據(jù)BC∥AD，證明出AD⊥PC．
（2）作DF⊥PC與F，作FE∥BC，交PB于E，連接AE，根據(jù)線面垂直的判定定理可證明出PC⊥平面ADE，求得PD，利用余弦定理求得cos∠PDC的值，則sin∠PDC可得，利用三角形面積公式求得三角形PDC的面積進(jìn)而求得其高DF，利用勾股定理求得PF，最后于PB相比，即可求得PE；PB的值，則λ可得．

解答： （1）連接AC，
AC=

AB2+BC2-2AB•BCcos60°

=

16+4-2×4×2× 1 2

=2

3

，
∴PC=

AC2+PA2

=

12+9

=

21

，
∵PB=

AB2+PA2

=

16+9

=5，
∴PC²+BC²=PB²，
∴PC⊥BC，
∵BC∥AD，
∴AD⊥PC．
（2）存在，
作DF⊥PC與F，作FE∥BC，交PB于E，連接AE，
∵AD⊥PC，DF?平面ADE，AD?平面ADE，AD∩DF=D，
∴PC⊥平面ADE，
PD=

PA2+AD2

=

13

，PC=

21

，CD=AB=4，
∴在△PDC中，cos∠PDC=

13+16-21

2× 13 ×4

=

13

13

，
∴sin∠PDC=

1- 1 13

=

2 3

13

，
∴S_△PDC=

1

2

PD•DC•sin∠PDC=

1

2

13

×4×

2 3

13

=4

3

，
∴DF=

2S△PDC

PC

=

8 3

21

=

8 7

7

，
∴PF=

PD2-DF2

=

13- 64 7

=

3 21

7

，
∴

PF

PC

=

3 21

7× 21

=

3

7

，
∵EF∥BC，
∴

PE

PB

=

PF

PC

=

3

7

．
∴λ=

3

7

．

點(diǎn)評：本題主要考查了線面垂直的判定定理的應(yīng)用．考查了學(xué)生空間觀察的能力和邏輯思維能力．