Question

17．已知函數(shù)f（x）=xlnx+mx（m∈R）的圖象在點（1，f（1））處的斜率為2．
（1）求實數(shù)m的值；
（2）設(shè)g（x）=$\frac{f（x）-x}{x-1}$，討論g（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由圖象在點（1，f（1））處的切線的斜率為2，得到f′（1）=1+ln1+m=2，則m值可求；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，令h（x）=x-1-lnx，再求h（x）的導(dǎo)數(shù)，討論h（x）的單調(diào)性，從而得到g（x）的單調(diào)性．

解答 解：（1）由f（x）=xlnx+mx，得f′（x）=1+lnx+m，
由圖象在點（1，f（1））處的切線的斜率為2，
得f′（1）=1+ln1+m=2，
解得m=1；
（2）解：g（x）=$\frac{f（x）-x}{x-1}$=$\frac{xlnx}{x-1}$（x＞0，x≠1），
則g′（x）=$\frac{x-1-lnx}{（x-1）^{2}}$，
設(shè)h（x）=x-1-lnx，則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
當x＞1時，h′（x）＞0，h（x）是增函數(shù)，h（x）＞h（1）=0，
∴g′（x）=$\frac{x-1-lnx}{（x-1）^{2}}$＞0，故g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)；          
當0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）是減函數(shù)，h（x）＞h（1）=0，
∴g′（x）=）=$\frac{x-1-lnx}{（x-1）^{2}}$＞0，故g（x）在（0，1）上為增函數(shù)；
故g（x）的增區(qū)間為（0，1），（1，+∞）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間，以及運用單調(diào)性證明不等式，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題