Question

定義在D上的函數(shù)，如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知f（x）=1+a•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，
（1）當a=1，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數(shù)f（x）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（2）若a∈[-

5

2

，-2]時，f（x）＞0恒成立，求x的取值范圍；
（3）若f（x）在[0，+∞）是以3為上界函數(shù)，求a的范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）當a=1時，f（x）=1+（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，f（x）在（-∞，0）的值域為（3，+∞），函數(shù)f（x）在（-∞，0）上不是有界函數(shù)． 
（2）f（x）=1+a•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x=[（

1

2

）^x+

a

2

]²+1-

a2

4

≥1-

a2

4

，由f（x）＞0，得a＞2或a＜-2．由a∈[-

5

2

，-2]時，f（x）＞0恒成立，得當a=-2時，f（x）=[（

1

2

）^x-1]²＞0，由此能求出x的取值范圍．
（3）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，設(shè)t=（

1

2

）^x，t∈（0，1]，由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t²≤3，-（t+

4

t

）≤a≤

2

t

-t在（0，1]上恒成立，由此利用構(gòu)造法能求出實數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=1時，f（x）=1+（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，
因為f（x）在（-∞，0）上遞減，
所以f（x）＞f（0）=3，即f（x）在（-∞，0）的值域為（3，+∞），
故不存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M成立．
所以函數(shù)f（x）在（-∞，0）上不是有界函數(shù)． 
（2）∵f（x）=1+a•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x
=[（

1

2

）^x+

a

2

]²+1-

a2

4

≥1-

a2

4

，
∴由f（x）＞0，得1-

a2

4

＞0，
解得a＞2或a＜-2．
∵a∈[-

5

2

，-2]時，f（x）＞0恒成立，
∴當a=-2時，
f（x）=[（

1

2

）^x-1]²＞0，
∴x≠0．
∴a∈[-

5

2

，-2]時，f（x）＞0恒成立，x的取值范圍是（-∞，0）∪（0，+∞）．
（3）由題意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，
設(shè)t=（

1

2

）^x，t∈（0，1]，
由-3≤f（x）≤3，得-3≤1+at+t²≤3，
∴-（t+

4

t

）≤a≤

2

t

-t在（0，1]上恒成立，
設(shè)h（t）=-t-

4

t

，m（t）=

2

t

-t，
則h（t）在（0，1]上遞增；m（t）在（0，1]上遞減，
所以h（t）在（0，1]上的最大值為h（1）=-5；
m（t）在（0，1]上的最小值為m（1）=1，
所以實數(shù)a的取值范圍為[-5，1]．

點評：本題主要考查情境題的解法，在解決中要通過給出的條件轉(zhuǎn)化為已有的知識和方法去解決，本題主要體現(xiàn)了定義法，恒成立和最值等問題，綜合性強，要求學生在學習中要有恒心和毅力．