已知函數(shù)f(x)=(x+2)ln(x+1)-ax2-x(a∈R),g(x)=ln(x+1).
(Ⅰ)若a=0,F(xiàn)(x)=f(x)-g(x),求函數(shù)F(x)的極值點及相應(yīng)的極值;
(Ⅱ)若對于任意x2>0,存在x1滿足x1<x2且g(x1)=f(x2)成立,求a的取值范圍.
考點:利用導數(shù)研究函數(shù)的極值
專題:綜合題,導數(shù)的綜合應(yīng)用
分析:(Ⅰ)求導數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求函數(shù)F(x)的極值點及相應(yīng)的極值;
(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為(x2+1)ln(x2+1)-ax22-x2<0,在(0,+∞)上恒成立,再分類討論,即可求a的取值范圍.
解答: 解:(Ⅰ)F(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln(x+1)-x,F(xiàn)′(x)=ln(x+1),x∈(-1,0)F′(x)<0,F(xiàn)(x)為減函數(shù);x∈(0,+∞),F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)為增函數(shù),
所以F(x)只有一個極小值點x=0,極小值為0.…(4分)
(Ⅱ) 設(shè)G(x)=ln(x+1)-f(x2)=ln(x+1)-[(x2+2)ln(x2+1)-ax22-x2]
依題意即求 G(x)在(-1,x2)上存在零點時a的取值范圍.
又當x→-1時,G(x)→-∞,且G(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,
所以只需要G(x2)>0在(0,+∞)上恒成立.
ln(x2+1)-[(x2+2)ln(x2+1)-ax22-x2]>0,在(0,+∞)上恒成立.
(x2+1)ln(x2+1)-ax22-x2<0,在(0,+∞)上恒成立.…(7分)
1°若a=0,顯然不成立,因為由第一問知F(x)=(x+1)ln(x+1)-x在(0,+∞)為增函數(shù),
故F(x)>F(0)=0;
2°∵x+1>0,即ln(x+1)-
ax2+x
x+1
<0
在(0,+∞)恒成立,
不妨設(shè)h(x)=ln(x+1)-
ax2+x
x+1
,x∈(0,+∞)h(x)=
x(-ax+1-2a)
(x+1)2
,x∈(0,+∞)
,h(x)=
x(-ax+1-2a)
(x+1)2
=0,x1=0,x2=
1-2a
a
,…(9分)
若a<0,則x2=
1-2a
a
<0
,若x>0,h′(x)>0,所以h(x)為增函數(shù),h(x)>h(0)=0(不合題意),
0<a<
1
2
,若x∈(0,
1-2a
a
)
,h′(x)>0,h(x)為增函數(shù),h(x)>h(0)=0(不合題意),
a≥
1
2
,若x∈(0,+∞),h′(x)<0,h(x)為減函數(shù),h(x)<h(0)=0(符合題意),
綜上所述,若x>0時,h(x)<0f(x)<0恒成立,
a≥
1
2
.…(12分)
點評:本小題主要考查函數(shù)恒成立問題、不等式的解法等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,D是△ABC邊BC的中點,
BA
=
a
、
AC
=
b
,已知
AD
a
b
,則( 。
A、λ=μ=
1
2
B、λ=-
1
2
,μ=
1
2
C、λ=μ=-
1
2
D、λ=
1
2
,μ=-
1
2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知橢圓的一個焦點將長軸分成2:1的兩個部分,且經(jīng)過點(-3
2
,4),求橢圓的標準方程.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知線段AB的端點B的坐標為(1,3),端點A在圓C:(x+1)2+y2=4上運動.
(1)求線段AB的中點M的軌跡;
(2)過B點的直線L與圓C有兩個交點A,D.當CA⊥CD時,求L的斜率.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
=(cos
3x
2
,sin
3x
2
),
b
=(cos
x
2
,-sin
x
2
),且x∈[
π
2
,
2
].
(1)求
a
b
及|
a
+
b
|;
(2)求函數(shù)f(x)=
a
b
-|
a
+
b
|的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知拋物線y2=2px(p>0),拋物線上縱坐標為1的點到焦點的距離為p,過點M(1,0)作斜率為k的直線l交拋物線于A,B兩點,A點關(guān)于x軸的對稱點為C,直線BC交x軸于Q點.
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)探究:當k變化時,點Q是否為定點?

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖:四棱錐P-ABCD中,PA⊥AD,AB=AC=2PA=2,PC=
5

AD∥BC,∠BAD=150°.
(Ⅰ)證明:PA⊥平面ABCD;
(Ⅱ)求點B到平面PAC的距離.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

2014年春節(jié)期間,高速公路車輛劇增,高速公路管理測控中心在一特定位置從七座以下小型汽車中按先后順序,每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40輛進行電子測速調(diào)查,將它們的車速(km/h)分成六段[80,85),[85,90),[90,95),[95,100),[100,105),[105,110)后得到如圖的頻率分布直圖.
(1)測控中心在采樣中,用到的是什么抽樣方法?并估計這40輛車車速的平均數(shù);
(2)從車速在[80,90)的車輛中任抽取2輛,求抽出的2輛車中車速在[85,90)的車輛數(shù)的概率.參考數(shù)據(jù):82.5×0.01+87.5×0.02+92.5×0.04+97.5×0.06+102.5×0.05+107.5×0.02=19.4.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在邊長為4的菱形ABCD中,∠DAB=60°.點E、F分別在邊CD、CB上,點E與點C、D不重合,EF⊥AC,EF∩AC=O,AC∩BD=H.沿EF將△CEF折起到△PEF的位置,使得平面PEF⊥平面ABFED.

(Ⅰ)求證:BD⊥平面POA;
(Ⅱ)當PB取得最小值時,請解答以下問題:(提示:設(shè)OH=x)
(。┣笏睦忮FP-BDEF的體積;
(ⅱ)若點Q在線段AP上,試探究:直線OQ與平面E所成角是否一定大于或等于45°?并說明你的理由.

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同步練習冊答案