設F是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的右焦點，雙曲線兩漸近線分另．為l1，l2過F作直線l1的垂線，分別交l1，l2于A，B兩點．若OA，AB，OB成等差數(shù)列，且向量
BF
與
FA
同向，則雙曲線的離心 率e的大小為（　　）
A、
3
2
B、
2
C、2
D、
5
2
考點：雙曲線的簡單性質
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：由勾股定理、OA，AB，OB成等差數(shù)列，得出直角三角形的2個直角邊的長度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進而求出離心率．
解答： 解：由條件知，OA⊥AB，所以OA2+AB2=OB2，
因為OA，AB，OB成等差數(shù)列，所以2AB=OA+OB，
所以OA：AB：OB=3：4：5，
于是tan∠AOB=
4
3
．
因為向量
BF
與
FA
同向，所以過F作直線l1的垂線與雙曲線相交于同一支．
而雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的漸近線方程分別為
x
a
±
y
b
=0，故
2•
b
a
1-(
b
a
)2
=
4
3
，
解得a=2b，
故雙曲線的離心率e=
c
a
=
5
2
．
點評：本題考查了雙曲線的簡單性質以及等差數(shù)列的性質，確定tan∠AOB=
4
3
，聯(lián)想到對應的是漸近線的夾角的正切值，是解題的關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線
x2
36
-
y2
45
=1上一點P到焦點F1的距離是16，則P到F2的距離是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

與雙曲線x2-y2=1過一、三象限的漸近線平行且距離為
2
的直線方程為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若命題“?x，y∈（0，+∞），都有（x+y）（
1
x
+
a
y
）≥9”為真命題，則正實數(shù)a的最小值是（　　）
A、2B、4C、6D、8

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知命題p：-4＜x-a＜4，命題q：（x-1）（x-3）＜0，且q是p的充分而不必要條件，則a的取值范圍是（　�。�
A、[-1，5]
B、[-1，5）
C、（-1，5]
D、（-1，5）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
4
+
y2
3
=1，雙曲線C2：
x2
m2
-
y2
n2
=1(m，n＞0)，橢圓C1的焦點和長軸端點分別是雙曲線C2的頂點和焦點，則雙曲線C2的漸近線必經(jīng)過點（　�。�
A、(
2
，
3
)
B、(2，
3
)
C、(
3
，1)
D、(
3
，-3)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

曲線y=-x2+1在點（1，0）處的切線方程為（　�。�
A、x+y-1=0
B、2x-y-1=0
C、2x+y-2=0
D、x-y-1=0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，可得該幾何體的體積是（　�。�
A、2B、4C、5D、7

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x（x-a）（x-b），點A（s，f（s）），B（t，f（t））．
（Ⅰ）若a=0，b=3，函數(shù)f（x）在（t，t+3）上既能取到極大值，又能取到極小值，求t的取值范圍；
（Ⅱ）當a=0時，
f(x)
x
+lnx+1≥0對任意的x∈[
1
2
，+∞)恒成立，求b的取值范圍；
（Ⅲ）若0＜a＜b，函數(shù)f（x）在x=s和x=t處取得極值，且a+b＜2
3
，O是坐標原點，探究直線OA與直線OB能否垂直，并說明理由．

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