Question

5．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，k）上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（2）記P_n（n，lnn）（n∈N₊），線(xiàn)段P_nP_n+1的斜率為k_n，S_n=$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+…+$\frac{1}{{k}_{n}}$，求證：S_n＜$\frac{n（n+2）}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的得到，然后求解函數(shù)的零點(diǎn)，推出k的范圍．
（2）利用兩點(diǎn)的連線(xiàn)的斜率公式得出k_n，再利用（1）的結(jié)論對(duì)S_n放縮即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$，
求導(dǎo)可得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{2（x+1）-2（x-1）}{（{x+1）}^{2}}$=$\frac{（{x-1）}^{2}}{x（{x+1）}^{2}}$≥0
所以，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，k）上存在零點(diǎn)，
f（k）=lnk-$\frac{2（k-1）}{k+1}$≥0．
可得k=1，
實(shí)數(shù)k的取值范圍[1，+∞）．
（2）依題意，kn=$\frac{ln（n+1）-lnn}{n+1-n}$=ln（1+$\frac{1}{n}$）．        
由（1）可知，當(dāng)x＞1時(shí)f（x）＞0，即lnk＞$\frac{2（k-1）}{k+1}$．
于是 ln（1+$\frac{1}{n}$）＞$\frac{2（1+\frac{1}{n}-1）}{1+\frac{1}{n}+1}$=$\frac{2}{2n+1}$，即知$\frac{1}{{k}_{n}}$＜$\frac{2n+1}{2}$．
所以 S_n=$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+…+$\frac{1}{{k}_{n}}$＜$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}+\frac{7}{2}+…+\frac{2n+1}{2}$=$\frac{\frac{3+2n+1}{2}•n}{2}$=$\frac{n（n+2）}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的綜合運(yùn)用及運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)與不等式的綜合問(wèn)題的處理能力，解題時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．