Question

10．已知球O的半徑為2，一圓錐內(nèi)接于球O，且圓錐的下底面的內(nèi)接正三角形的面積為$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，則該圓錐的表面積為（2$\sqrt{3}$+3）π或9π．

Answer 1

分析 求出圓錐的下底面半徑，由射影定理可得圓錐的高為h，母線長l，即可求出該圓錐的表面積．

解答 解：設(shè)圓錐的下底面的內(nèi)接正三角形的邊長為a，則$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，
∴a=3，
∴圓錐的下底面半徑為$\frac{\sqrt{3}}{3}×3$=$\sqrt{3}$，
設(shè)圓錐的高為h，母線長l，則由射影定理可得（$\sqrt{3}$）²=h（4-h），
∴h=1或3，
又l²=h•4，∴l(xiāng)=2或2$\sqrt{3}$，
∴該圓錐的表面積為πrl+πr²=（2$\sqrt{3}$+3）π或9π．
故答案為：（2$\sqrt{3}$+3）π或9π．

點評 本題考查圓錐的表面積，考查學(xué)生的計算能力，正確求出圓錐的高，母線長是關(guān)鍵．