Question

2．在△ABC中，O為△ABC的外心，滿足15$\overrightarrow{AO}$+8$\overrightarrow{BO}$+17$\overrightarrow{CO}$=$\overrightarrow{0}$，則∠C=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)外接圓的半徑為R，根據(jù)題意得15$\overrightarrow{AO}$+8$\overrightarrow{BO}$=-17$\overrightarrow{CO}$，兩邊平方得出$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BO}$=0，即∠AOB=$\frac{π}{2}$，
再根據(jù)圓心角等于同弧所對(duì)的圓周的關(guān)系，得出角C的值．

解答 解：設(shè)外接圓的半徑為R，O為△ABC的外心，且15$\overrightarrow{AO}$+8$\overrightarrow{BO}$+17$\overrightarrow{CO}$=$\overrightarrow{0}$，
所以15$\overrightarrow{AO}$+8$\overrightarrow{BO}$=-17$\overrightarrow{CO}$，
∴（15$\overrightarrow{AO}$+8$\overrightarrow{BO}$）²=（17$\overrightarrow{OC}$）²，
∴289R²+240$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BO}$=289R²，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{BO}$=0，
∴∠AOB=$\frac{π}{2}$，
根據(jù)圓心角與同弧所對(duì)的圓周角的關(guān)系，如圖所示：
所以△ABC中內(nèi)角C的值為$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形外心的應(yīng)用、向量在幾何中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．