Question

18．已知三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC，△ABC是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，側(cè)棱與底面所成夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，則該三棱錐外接球的表面積為6π．

Answer 1

分析 過點(diǎn)P作PH⊥平面ABC于H，可得∠PAH是直線PA與底面ABC所成的角，得cos∠PAH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．求出PA=PB=PC=$\sqrt{2}$，將三棱錐擴(kuò)充為正方體，其外接球?yàn)槿�棱錐外接球，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{6}$，可得三棱錐外接球的半徑，即可求出三棱錐外接球的表面積．

解答 解：過點(diǎn)P作PH⊥平面ABC于H，則
∵AH是PA在平面ABC內(nèi)的射影
∴∠PAH是直線PA與底面ABC所成的角，得cos∠PAH=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵△ABC是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，
∴AH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴Rt△PAH中，AH=PA∠PAH，∴PA=$\sqrt{2}$
∴PB=PC=$\sqrt{2}$，∴PA，PB，PC互相垂直，
將三棱錐擴(kuò)充為正方體，其外接球?yàn)槿�棱錐外接球，正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為$\sqrt{6}$，
∴三棱錐外接球的半徑R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
因此該三棱錐外接球的表面積為S=4πR²=6π．
故答案為：6π．

點(diǎn)評(píng) 本題給出三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相等，在已知一條側(cè)棱與底面所成角的情況下求外接球的表面積，著重考查了直線與平面所成角的定義、球內(nèi)接多面體和球表面積的求法等知識(shí)，屬于中檔題．