Question

7．已知a＞0，a≠1，設(shè)p：函數(shù)y=a^x在x∈（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸交于不同的兩點．若“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 對于命題p：利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出a的取值范圍；對于命題q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸有兩個不同的交點等價于△＞0，解得a的范圍．由于“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，可得p與q必然一真一假，即可得出．

解答 解：對于命題p：當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y=a^x在x∈（-∞，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
當(dāng)a＞1時，函數(shù)y=a^x在x∈（-∞，+∞）內(nèi)不是單調(diào)遞減．
對于命題q：曲線y=x²+（2a-3）x+1與x軸有兩個不同的交點等價于△=（2a-3）²-4＞0，
即$a＜\frac{1}{2}$或$a＞\frac{5}{2}$． 
∵“p∧q”為假命題，“p∨q”為真命題，
∴p與q必然一真一假，
①若p正確，且q不正確，則$a∈（{0，1}）∩（{[{\frac{1}{2}，1}）∪（{1，\frac{5}{2}}]}）$，即$a∈[{\frac{1}{2}，1}）$；
②若p不正確，且q正確，則$a∈（{1，+∞}）∩（{（{0，\frac{1}{2}}）∪（{\frac{5}{2}，+∞}）}）$，即$a∈（{\frac{5}{2}，+∞}）$．
綜上，a的取值范圍為$[{\frac{1}{2}，1}）∪（{\frac{5}{2}，+∞}）$．

點評 本題考查了復(fù)合命題真假的判定方法、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程的實數(shù)根與判別式的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．