Question

9．已知：正數(shù)m取不同的數(shù)值時(shí)，方程x²+y²-（4m+2）x-2my+4m²+4m+1=0表示不同的圓，求：這些圓的公切線（即與這些圓都相切的直線）的方程．

Answer 1

分析 將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，表示出圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)題意得到公切線恒過（1，0），設(shè)出公切線為y=kx-k，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出公切線的方程．

解答 解：正數(shù)m取不同的數(shù)值時(shí)，方程x²+y²-（4m+2）x-2my+4m²+4m+1=0，
即[x-（2m+1）]²+（y-m）²=m²，表示以（2m+1，m）為圓心，半徑等于|m|的圓，
故圓心所在的直線方程為x-2y-1=0，
當(dāng)y=0時(shí)，x=1，即公切線恒過（1，0），設(shè)這些圓的公切線方程為y=kx-k，
圓心到切線的距離d=r，即

|2mk-mmm|

k2+1

=|m|，
整理得：3k²-4k=0，即k（3k-4）=0，
解得：k=0或k=

4

3

，
則這些圓的公切線方程為y=0或y=

4

3

x-

4

3

，即y=0或4x-3y-4=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓系方程，圓的公切線的性質(zhì)，考查了圓的切線方程，屬于中檔題．