Question

19．a(chǎn)、b、c依次表示函數(shù)f（x）=2^x+x-2，g（x）=3^x+x-2，h（x）=lnx+x-2的零點(diǎn)，則a、b、c的大小順序?yàn)椋ā　。?table class="qanwser">A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．a＜c＜bD．b＜a＜c

Answer 1

分析 先確定三個(gè)函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，再利用零點(diǎn)存在定理，求出三個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的范圍，從而比較大小，即可得解．

解答 解：由于：f（x）=2^x+x-2，g（x）=3^x+x-2，h（x）=lnx+x-2在定義域上是增函數(shù)，
對(duì)于f（x）=2^x+x-2，
由于：f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$-2＜0，f（1）=2+1-2=1＞0，
所以：函數(shù)在（$\frac{1}{2}$，1）上有唯一的零點(diǎn)，即a∈（$\frac{1}{2}$，1）；
對(duì)于g（x）=3^x+x-2，
由于：g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$-2＞0，g（0）=1+0-2=-1＜0，
所以：函數(shù)在（0，$\frac{1}{2}$）上有唯一的零點(diǎn)，即b∈（0，$\frac{1}{2}$）；
對(duì)于h（x）=lnx+x-2，
由于：h（1）=ln1+1-2=-1＜0，h（2）=ln2＞0，
可得：函數(shù)在（1，2）上有唯一的零點(diǎn)，即c∈（1，2）；
則b＜a＜c，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的大小判斷，解題時(shí)注意注意函數(shù)的零點(diǎn)的靈活運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．