Question

19．a(chǎn)、b、c依次表示函數(shù)f（x）=2^x+x-2，g（x）=3^x+x-2，h（x）=lnx+x-2的零點，則a、b、c的大小順序為（　　）

• A． c＜b＜a
• B． a＜b＜c
• C． a＜c＜b
• D． b＜a＜c

Answer 1

分析 先確定三個函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，再利用零點存在定理，求出三個函數(shù)零點的范圍，從而比較大小，即可得解．

解答 解：由于：f（x）=2^x+x-2，g（x）=3^x+x-2，h（x）=lnx+x-2在定義域上是增函數(shù)，
對于f（x）=2^x+x-2，
由于：f（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$-2＜0，f（1）=2+1-2=1＞0，
所以：函數(shù)在（$\frac{1}{2}$，1）上有唯一的零點，即a∈（$\frac{1}{2}$，1）；
對于g（x）=3^x+x-2，
由于：g（$\frac{1}{2}$）=$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$-2＞0，g（0）=1+0-2=-1＜0，
所以：函數(shù)在（0，$\frac{1}{2}$）上有唯一的零點，即b∈（0，$\frac{1}{2}$）；
對于h（x）=lnx+x-2，
由于：h（1）=ln1+1-2=-1＜0，h（2）=ln2＞0，
可得：函數(shù)在（1，2）上有唯一的零點，即c∈（1，2）；
則b＜a＜c，
故選：D．

點評 本題主要考查函數(shù)零點的大小判斷，解題時注意注意函數(shù)的零點的靈活運用，屬于基礎題．