Question

9．已知f（x）=ax²-（b+1）xlnx-b，曲線y=f（x）在點P（e，f（e））處的切線方程為2x+y=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）研究函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，e⁴]內(nèi)的零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f′（e），f（e），根據(jù)系數(shù)相等，得到關(guān)于a，b的方程組，解出a，b的值即可；
（2）令f（x）=0，問題等價于x-（e+1）lnx-$\frac{e}{x}$=0，x∈（0，e⁴]．設(shè)g（x）=x-（e+1）lnx-$\frac{e}{x}$，x∈（0，e⁴]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．

解答 解：（1）∵f（x）=ax²-（b+1）xlnx-b，
∴f′（x）=2ax-（b+1）（1+lnx），
f′（e）=2ea-2（b+1），f（e）=ae²-e（b+1）-b，
故切線方程是：y=2（ea-b-1）x-ae²+eb+e-b，
而切線方程為2x+y=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{ea-b-1=-1}\\{-{ae}^{2}+eb+e-b=0}\end{array}\right.$，
解得：a=1，b=e，
∴f（x）=x²-（e+1）xlnx-e；         （5分）
（2）x²-（e+1）xlnx-e=0
?x-（e+1）lnx-$\frac{e}{x}$=0，x∈（0，e⁴]．
設(shè)g（x）=x-（e+1）lnx-$\frac{e}{x}$，x∈（0，e⁴]，
則g′（x）=$1-\frac{e+1}{x}+\frac{e}{x^2}=\frac{（x-1）（x-e）}{x^2}$
由g′（x）=0得x₁=1，x₂=e，（8分）
當x∈（0，1）時，g′（x）＞0，
x∈（1，e）時，g′（x）＜0，x∈（e，e⁴）時，g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，1）上增，在（1，e）上減，在（e，e⁴） 上增，（9分）
極大值g（1）=1-e＜0，極小值g（e）=-2＜0，
g（e⁴）=e⁴-4（e+1）-$\frac{1}{e^3}$，
∵4（e+1）+$\frac{1}{e^3}$＜4×4+1=17，e⁴＞2.7⁴＞2.5⁴＞6²=36，
∴g（e⁴）＞0．（11分）
g（x）在（0，e⁴]內(nèi)有唯一零點，
因此，f（x） 在（0，e⁴]內(nèi)有唯一零點．（12分）

點評 本題考查了曲線的切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．