分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算f′(e),f(e),根據(jù)系數(shù)相等,得到關(guān)于a,b的方程組,解出a,b的值即可;
(2)令f(x)=0,問(wèn)題等價(jià)于x-(e+1)lnx-$\frac{e}{x}$=0,x∈(0,e4].設(shè)g(x)=x-(e+1)lnx-$\frac{e}{x}$,x∈(0,e4],根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.
解答 解:(1)∵f(x)=ax2-(b+1)xlnx-b,
∴f′(x)=2ax-(b+1)(1+lnx),
f′(e)=2ea-2(b+1),f(e)=ae2-e(b+1)-b,
故切線方程是:y=2(ea-b-1)x-ae2+eb+e-b,
而切線方程為2x+y=0,
∴$\left\{\begin{array}{l}{ea-b-1=-1}\\{-{ae}^{2}+eb+e-b=0}\end{array}\right.$,
解得:a=1,b=e,
∴f(x)=x2-(e+1)xlnx-e; (5分)
(2)x2-(e+1)xlnx-e=0
?x-(e+1)lnx-$\frac{e}{x}$=0,x∈(0,e4].
設(shè)g(x)=x-(e+1)lnx-$\frac{e}{x}$,x∈(0,e4],
則g′(x)=$1-\frac{e+1}{x}+\frac{e}{x^2}=\frac{(x-1)(x-e)}{x^2}$
由g′(x)=0得x1=1,x2=e,(8分)
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)>0,
x∈(1,e)時(shí),g′(x)<0,x∈(e,e4)時(shí),g′(x)>0,
所以g(x)在(0,1)上增,在(1,e)上減,在(e,e4) 上增,(9分)
極大值g(1)=1-e<0,極小值g(e)=-2<0,
g(e4)=e4-4(e+1)-$\frac{1}{e^3}$,
∵4(e+1)+$\frac{1}{e^3}$<4×4+1=17,e4>2.74>2.54>62=36,
∴g(e4)>0.(11分)
g(x)在(0,e4]內(nèi)有唯一零點(diǎn),
因此,f(x) 在(0,e4]內(nèi)有唯一零點(diǎn).(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問(wèn)題,考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題,是一道中檔題.
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A. | 9 | B. | -$\frac{1}{3}$ | C. | 1 | D. | -1 |
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A. | (-∞,1),(2,+∞) | B. | (-∞,0),(1,2) | C. | (0,1),(2,+∞) | D. | (1,2) |
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