Question

不等式x²-2x-a＞0在x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：構(gòu)造二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)判斷x∈（1，+∞）時函數(shù)f（x）的單調(diào)性，利用其單調(diào)性，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為f（1）＞0，解不等式即可．

解答： 解：令f（x）=x²-2x-a，
則由二次函數(shù)的性質(zhì)知，
f（x）在x∈（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x∈（1，+∞）時，f（x）＞f（1），
∴不等式x²-2x-a＞0在x∈（1，+∞）恒成立
等價于f（1）≥0，
即-1-a≥0，
解得，a≤-1，
∴a的取值范圍是（-∞，-1]．

點評：本題考查一元二次不等式與二次函數(shù)的關(guān)系，以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化技巧，屬于中檔題．