分析 (1)根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算建立關(guān)系,求解f(x),利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期
(2)根據(jù)x∈(\frac{2π}{3},\frac{11π}{12})時(shí),出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍,f(x)=-3,化簡(jiǎn)f(x),可求cos2x的值.
(3)根據(jù)cosx≥\frac{1}{2},x∈(-\frac{π}{2},\frac{π}{2}),確定x的范圍,利用數(shù)形結(jié)合法作f(x)=m有且僅有一個(gè)實(shí)根,可得答案.
解答 解:(1)由函數(shù)f(x)=\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{a}|2-\frac{7}{2}.
可得:f(x)=5\sqrt{3}sinxcosx+2cos2x+sin2x+4cos2x-\frac{7}{2}
=\frac{5\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x+3+3cos2x-\frac{7}{2}
=\frac{5\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{5}{2}cos2x
=5sin(2x+\frac{π}{6})
∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π.
(2)當(dāng)x∈(\frac{2π}{3},\frac{11π}{12})
可得2x+\frac{π}{6}∈[\frac{3π}{2},2π]
∵f(x)=-3,即5sin(2x+\frac{π}{6})=-3
∴sin(2x+\frac{π}{6})=-\frac{3}{5}
∴cos(2x+\frac{π}{6})=\frac{4}{5}
∴cos2x=cos[(2x+\frac{π}{6})-\frac{π}{6})=cos(2x+\frac{π}{6})cos\frac{π}{6})+sin(2x+\frac{π}{6})sin\frac{π}{6})=\frac{4\sqrt{3}-3}{10}
(3)由題意∵cosx≥\frac{1}{2},x∈(-\frac{π}{2},\frac{π}{2}),
∴x∈[-\frac{π}{3},\frac{π}{3}],
∵f(x)=m有且僅有一個(gè)實(shí)根,即函數(shù)f(x)與y=m的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).
f(x)=5sin(2x+\frac{π}{6})
∴2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{2},\frac{5π}{6}]
令2x+\frac{π}{6}=t,則t∈[-\frac{π}{2},\frac{5π}{6}],那么f(x)=5sin(2x+\frac{π}{6})轉(zhuǎn)化為g(t)=5sint與y=m的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).
,g(t)=5sint圖象如下:
從圖象可看出:當(dāng)-5≤m<\frac{5}{2}或m=5時(shí),函數(shù)y=m與g(t)=5sint只有一個(gè)交點(diǎn).
故得實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|-5≤m<\frac{5}{2}或m=5}
點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 關(guān)于點(diǎn)(\frac{7π}{12},0)對(duì)稱(chēng) | B. | 關(guān)于點(diǎn)(-\frac{π}{12},0)對(duì)稱(chēng) | ||
C. | 關(guān)于直線(xiàn)x=-\frac{π}{12}對(duì)稱(chēng) | D. | 關(guān)于直線(xiàn)x=\frac{7π}{12}對(duì)稱(chēng) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
x | 1.5 | 3 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 14 | 27 |
lgx | 2a+b | a+b | a-c+1 | b+c | a+2b+c | 3(c-a) | 2(a+b) | b-a | 3(a+b) |
A. | lg\frac{2}{21} | B. | \frac{1}{2}lg\frac{3}{14} | C. | \frac{1}{2}lg\frac{3}{7} | D. | lg\frac{6}{7} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 31(4)=62(2) | B. | 101(2)=5(10) | C. | 119(10)=315(6) | D. | 27(8)=212(3) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | 8\sqrt{3} | B. | 9\sqrt{3} | C. | 18\sqrt{3} | D. | 27\sqrt{3} |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
組號(hào) | 第一組 | 第二組 | 第三組 | 第四組 | 第五組 |
分組 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) | [90,100] |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | \frac{π}{6} | B. | \frac{π}{4} | C. | \frac{π}{3} | D. | \frac{2π}{3} |
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