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1.已知向量a=(sinx,2cosx),\overrightarrow=(53cosx,cosx),函數(shù)f(x)=a+|a|2-72
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若x∈(\frac{2π}{3},\frac{11π}{12})時(shí),f(x)=-3,求cos2x的值;
(3)若cosx≥\frac{1}{2},x∈(-\frac{π}{2},\frac{π}{2}),且f(x)=m有且僅有一個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算建立關(guān)系,求解f(x),利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)的形式,再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期
(2)根據(jù)x∈(\frac{2π}{3},\frac{11π}{12})時(shí),出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍,f(x)=-3,化簡(jiǎn)f(x),可求cos2x的值.
(3)根據(jù)cosx≥\frac{1}{2},x∈(-\frac{π}{2},\frac{π}{2}),確定x的范圍,利用數(shù)形結(jié)合法作f(x)=m有且僅有一個(gè)實(shí)根,可得答案.

解答 解:(1)由函數(shù)f(x)=\overrightarrow{a}\overrightarrow+|\overrightarrow{a}|2-\frac{7}{2}
可得:f(x)=5\sqrt{3}sinxcosx+2cos2x+sin2x+4cos2x-\frac{7}{2}
=\frac{5\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x+3+3cos2x-\frac{7}{2}
=\frac{5\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{5}{2}cos2x
=5sin(2x+\frac{π}{6}
∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π
(2)當(dāng)x∈(\frac{2π}{3}\frac{11π}{12}
可得2x+\frac{π}{6}∈[\frac{3π}{2},2π]
∵f(x)=-3,即5sin(2x+\frac{π}{6})=-3
∴sin(2x+\frac{π}{6})=-\frac{3}{5}
∴cos(2x+\frac{π}{6})=\frac{4}{5}
∴cos2x=cos[(2x+\frac{π}{6}-\frac{π}{6})=cos(2x+\frac{π}{6})cos\frac{π}{6})+sin(2x+\frac{π}{6})sin\frac{π}{6})=\frac{4\sqrt{3}-3}{10}
(3)由題意∵cosx≥\frac{1}{2},x∈(-\frac{π}{2},\frac{π}{2}),
∴x∈[-\frac{π}{3}\frac{π}{3}],
∵f(x)=m有且僅有一個(gè)實(shí)根,即函數(shù)f(x)與y=m的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).
f(x)=5sin(2x+\frac{π}{6}
∴2x+\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{2}\frac{5π}{6}]
令2x+\frac{π}{6}=t,則t∈[-\frac{π}{2},\frac{5π}{6}],那么f(x)=5sin(2x+\frac{π}{6})轉(zhuǎn)化為g(t)=5sint與y=m的圖象只有一個(gè)交點(diǎn).
,g(t)=5sint圖象如下:

從圖象可看出:當(dāng)-5≤m<\frac{5}{2}或m=5時(shí),函數(shù)y=m與g(t)=5sint只有一個(gè)交點(diǎn).
故得實(shí)數(shù)m的取值范圍是{m|-5≤m<\frac{5}{2}或m=5}

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用,利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.關(guān)于點(diǎn)(\frac{7π}{12},0)對(duì)稱(chēng)B.關(guān)于點(diǎn)(-\frac{π}{12},0)對(duì)稱(chēng)
C.關(guān)于直線(xiàn)x=-\frac{π}{12}對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于直線(xiàn)x=\frac{7π}{12}對(duì)稱(chēng)

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12.設(shè)a,b,c∈R且c≠0.
 x 1.5 314 27 
 lgx 2a+b a+b a-c+1 b+c a+2b+c 3(c-a) 2(a+b) b-a 3(a+b)
若上表中的對(duì)數(shù)值恰有兩個(gè)是錯(cuò)誤的,則a的值為( �。�
A.lg\frac{2}{21}B.\frac{1}{2}lg\frac{3}{14}C.\frac{1}{2}lg\frac{3}{7}D.lg\frac{6}{7}

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(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x>1時(shí),不等式(x-1)f(x)>(x-k)lnx恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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16.下面進(jìn)位制之間轉(zhuǎn)化錯(cuò)誤的是( �。�
A.31(4)=62(2)B.101(2)=5(10)C.119(10)=315(6)D.27(8)=212(3)

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A.8\sqrt{3}B.9\sqrt{3}C.18\sqrt{3}D.27\sqrt{3}

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組號(hào)第一組第二組第三組第四組第五組
分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]
(Ⅰ)求圖中a的值;
(Ⅱ)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生,若將該樣本看成一個(gè)總體,從中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率?

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10.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為\frac{{9\sqrt{3}}}{4}

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A.\frac{π}{6}B.\frac{π}{4}C.\frac{π}{3}D.\frac{2π}{3}

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