Question

對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，符號(hào)[x]表示“不超過x的最大整數(shù)”，如[-2]=-2，[1.3]=1，[-2.5]=-3，定義函數(shù)f（x）=sin（

π

2

[x]）．給出下列四個(gè)命題：
①函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
②函數(shù)y=f（x）的值域是[-1，1]；
③函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，且最小正周期為4；
④函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x-1有三個(gè)不同的公共點(diǎn)．
其中真命題的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：根據(jù)已知分析函數(shù)f（x）=sin（

π

2

[x]）的圖象和性質(zhì)，逐一判斷四個(gè)結(jié)論的真假，可得結(jié)論．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=sin（

π

2

[x]）．
∴f（-

1

2

）=sin（-

π

2

）=-1；
f（

1

2

）=sin（0

π

2

）=0．
故①函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)，錯(cuò)誤；
函數(shù)y=f（x）的值域是{-1，0，1}，故②錯(cuò)誤；
函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，且最小正周期為4，故③正確；
函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=x-1有無公共點(diǎn)，故④錯(cuò)誤．
故真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè)，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，其中分析出函數(shù)f（x）=sin（

π

2

[x]）的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．