Question

16．過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點F作圓x²+y²=$\frac{{a}^{2}}{4}$的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若E為PF的中點，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 通過雙曲線的特點知原點O為兩焦點的中點，利用中位線的性質(zhì)，求出PF′的長度及判斷出PF′垂直于PF，通過勾股定理得到a，c的關(guān)系，進(jìn)而求出雙曲線的離心率．

解答 解：如圖，記右焦點為F′，則O為FF′的中點，
∵E為PF的中點，
∴OE為△FF′P的中位線，
∴PF′=2OE=a，
∵E為切點，
∴OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，
∵點P在雙曲線上，
∴PF-PF′=2a，
∴PF=PF′+2a=3a，
在Rt△PFF′中，有：PF²+PF′²=FF′²，
∴9a²+a²=4c²，即10a²=4c²，
∴離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{10}{4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì)、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，在圓錐曲線中，求離心率關(guān)鍵就是求三參數(shù)a，b，c的關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于中檔題．