Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），不等式|f（x）|≤|2x²+4x-30|對任意實數(shù)x恒成立，則f（x）的最小值是

 

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Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質,函數(shù)恒成立問題

專題：綜合題,函數(shù)的性質及應用

分析：2x²+4x-30=0，得x=-5或x=3，依題意知|f（-5）|≤0，|f（3）|≤0，又|f（-5）|≥0，|f（3）|≥0，于是可知f（-5）=f（3）=0，從而可求得a與b，繼而可得答案．

解答： 解：令2x²+4x-30=0，得x=-5或x=3．
∵不等式|f（x）|≤|2x²+4x-30|對任意實數(shù)x恒成立，
∴|f（-5）|≤0，|f（3）|≤0，
又|f（-5）|≥0，|f（3）|≥0，
∴f（-5）=f（3）=0，
即25-5a+b=0，9+3a+b=0，
解得：a=2，b=-15．
∴f（x）=x²+2x-15，
又f（x）=（x+1）²-16，
∴f（x）的最小值是-16．
故答案為：-16．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，求得f（-5）=f（3）=0是關鍵，考查等價轉化思想與方程思想的綜合運用，考查創(chuàng)新思維與運算求解能力，屬于難題．