Question

4．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{13}}{3}$，右焦點(diǎn)F，F(xiàn)在漸近線上的垂足為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{MF}$=4，則雙曲線C的方程是$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)關(guān)系，建立方程關(guān)系求出a，b，c即可得到結(jié)論．

解答 解：雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
不妨設(shè)其中一條漸近線為y=$\frac{a}$x，右焦點(diǎn)為F（c，0）到漸近線y=$\frac{a}$x的距離為|MF|=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=b，
則$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{MF}$=|$\overrightarrow{OF}$|•|$\overrightarrow{MF}$|cos∠OFM=（|$\overrightarrow{OF}$|cos∠OFM）•|$\overrightarrow{MF}$|=|$\overrightarrow{MF}$||$\overrightarrow{MF}$|=b²=4，即b=2，
∵雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
即c²=$\frac{13}{9}$a²=a²+4，
得$\frac{4}{9}$a²=4，則a²=9，得a=3，c=$\sqrt{13}$，
故雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)雙曲線的離心率和向量的數(shù)量積建立方程關(guān)系求出a，b，c，的是解決本題的關(guān)鍵．